پایه دوازدهم · فصل ۰۷
از جمله: قانون احتمال کل · درخت احتمال · وزنهای نابرابر · کیسۀ انتخابشده · شرط پس از مشاهده
۶ نکتهٔ منتخباحتمال
این جزوه همراهت است تا نکتههای پربازده فصل را مرور کنی. اول نکته را بخوان، مثال را خودت روی کاغذ حل کن و بعد پاسخ ایستگاه سنجش را ببین.
احتمال را ببین
۱قانون احتمال کل
اگر مسیرهای اولیه همۀ حالتها را بپوشانند و با هم اشتراک نداشته باشند، احتمال پیشامد از جمع احتمال رخ دادن آن در هر مسیر به دست میآید. احتمال داخل هر مسیر شرطی است و باید در احتمال انتخاب همان مسیر ضرب شود. مفهوم افراز در اینجا فقط ابزار قانون کل است، نه موضوع آزمون مستقل.
قانون کل به دو مسیر محدود نیست. اگر سه گروه ناسازگار تمام جامعه را بپوشانند و احتمال انتخاب هر گروه مثبت باشد، احتمال نتیجۀ مطلوب برابر مجموع سه حاصلضرب «وزن گروه × احتمال نتیجه در همان گروه» است. باید مجموع وزنها ۱ باشد؛ احتمال شرطی گروهها لازم نیست مجموعش ۱ شود.
مثال حلشده: سهم تولید سه کارگاه بهترتیب ۱/۲، ۱/۳ و ۱/۶ و احتمال نقص در آنها ۱/۱۰، ۱/۵ و ۳/۱۰ است. مجموع وزنها ۱ است. سهم نقص کارگاهها بهترتیب ۱/۲۰، ۱/۱۵ و ۱/۲۰ است؛ جمع آنها با مخرج ۶۰ برابر (۳+۴+۳)/۶۰=۱/۶ میشود. جواب بین کمترین و بیشترین نرخ نقص، یعنی ۱/۱۰ و ۳/۱۰، قرار دارد.
۲درخت احتمال
در هر گره درخت، احتمال شاخههای خروجی باید ۱ شود. برای یک برگ، احتمالهای روی مسیر را ضرب کن.
برای پیشامدی شامل چند برگ ناسازگار، احتمال آن برگها را جمع کن. برچسب هر شاخه را با شرط گره بخوان؛ احتمال شاخه دوم معمولاً شرطی است.
۳وزنهای نابرابر
برای اینکه میانگین سادهٔ نرخهای مسیرها بهطور عمومی احتمال کل را بدهد، وزن مسیرها باید برابر باشد. با وزنهای نابرابر باید میانگین وزنی گرفت؛ با این حال ممکن است در دادهای خاص دو جواب اتفاقاً برابر شوند، مثلاً وقتی نرخ موفقیت همۀ مسیرها ۰٫۴ باشد.
جواب کل باید بین کوچکترین و بزرگترین احتمال شرطی باشد، چون میانگین وزنی آنهاست. این کنترل سریع خطای جمع یا ضرب را آشکار میکند.
۴کیسۀ انتخابشده
در یکی از مدلهای قانون کل، ابتدا کیسهای با احتمال معلوم انتخاب و سپس یک مهره بهصورت همشانس برداشته میشود. احتمال رنگ، داخل هر کیسه با تعداد همان کیسه محاسبه میشود. جمع کردن همۀ مهرهها فقط وقتی درست است که سازوکار انتخاب معادل انتخاب یک مهرۀ همشانس از کل باشد.
انتقال مهره با انتخاب یک کیسه فرق دارد: وقتی از ظرف اول یک مهره به ظرف دوم منتقل میکنیم، ترکیب ظرف دوم به رنگ انتقالیافته وابسته میشود. ابتدا مسیرها را با رنگ مهرۀ منتقلشده بساز؛ سپس در هر مسیر، تعداد کل و تعداد رنگ مطلوب ظرف دوم را پس از انتقال دوباره بشمار.
کیسۀ انتخابشده؛ مثال و سنجش
مثال حلشده: ظرف A شامل ۲ قرمز و ۱ آبی و ظرف B شامل ۱ قرمز و ۳ آبی است. از A یک مهره بهتصادف به B منتقل و سپس از B یک مهره بهتصادف خارج میکنیم. در مسیر انتقال قرمز، احتمال مسیر ۲/۳ و احتمال قرمز از B برابر ۲/۵ است؛ در مسیر انتقال آبی، احتمال مسیر ۱/۳ و احتمال قرمز از B برابر ۱/۵ است. بنابراین احتمال نهایی (۲/۳)×(۲/۵)+(۱/۳)×(۱/۵)=۵/۱۵=۱/۳ است. مخرج هر دو احتمال شرطی ۵ است، چون B پس از انتقال پنج مهره دارد؛ صورتها با رنگ انتقال فرق دارند.
۵شرط پس از مشاهده
برای احتمال اینکه نتیجه از یک مسیر خاص آمده باشد، از تعریف احتمال شرطی استفاده میکنیم. صورت، احتمال مشترک مسیر و نتیجه است؛ مخرج، احتمال کل نتیجۀ مشاهدهشده.
قبل از تقسیم مطمئن شو احتمال نتیجه مثبت است. این محاسبه کاربرد همان قانون شرطی یازدهم در کنار قانون کل است.
۶یافتن احتمال مجهول
قانون کل فقط برای محاسبۀ احتمال نهایی نیست؛ اگر همۀ اجزا بهجز یکی معلوم و وزن مسیرِ دارای نرخ مجهول ناصفر باشد، یک معادلۀ خطی نرخ مجهول را تعیین میکند. اگر آن وزن صفر باشد، احتمال کل هیچ اطلاعاتی دربارهٔ نرخ آن مسیر نمیدهد. احتمال بهدستآمده باید بین صفر و یک باشد؛ خروج از این بازه یعنی دادهها یا مدل ناسازگارند.
مسیرها و شرطها را قبل از حل با حروف مشخص کن.
کارگاه جمعبندی: قانون احتمال کل
پیشنیاز: احتمال شرطی، مسیرهای ناسازگار و قاعدۀ ضرب
اگر مسیرهای اولیه همۀ حالتها را بپوشانند و با هم اشتراک نداشته باشند، احتمال پیشامد از جمع احتمال رخ دادن آن در هر مسیر به دست میآید. احتمال داخل هر مسیر شرطی است و باید در احتمال انتخاب همان مسیر ضرب شود. مفهوم افراز در اینجا فقط ابزار قانون کل است، نه موضوع آزمون مستقل. قانون کل به دو مسیر محدود نیست. اگر سه گروه ناسازگار تمام جامعه را بپوشانند و احتمال انتخاب هر گروه مثبت باشد، احتمال نتیجۀ مطلوب برابر مجموع سه حاصلضرب «وزن گروه × احتمال نتیجه در همان گروه» است. باید مجموع وزنها ۱ باشد؛ احتمال شرطی گروهها لازم نیست مجموعش ۱ شود.
حل را قدمبهقدم ببین
- دو کیسه با احتمال برابر ۱/۲ انتخاب میشوند.
- احتمال قرمز به شرط کیسهٔ اول ۱/۴ و به شرط دومی ۳/۴ است.
- مسیر قرمز از اول احتمال (۱/۲)(۱/۴)=۱/۸ و از دوم (۱/۲)(۳/۴)=۳/۸ دارد.
- مسیرها ناسازگارند
- احتمال کل قرمز ۱/۸+۳/۸=۱/۲ است.
- جمع سادهٔ ۱/۴+۳/۴ وزن انتخاب کیسهها را حذف میکرد.
شرطها و تمرین مستقل
اگر مسیرهای اولیه همۀ حالتها را بپوشانند و با هم اشتراک نداشته باشند، احتمال پیشامد از جمع احتمال رخ دادن آن در هر مسیر به دست میآید.
احتمال داخل هر مسیر شرطی است و باید در احتمال انتخاب همان مسیر ضرب شود.
اصلاح: باید در احتمال انتخاب مسیر ضرب شوند.
فصل را فعالانه مرور کردی
مثالهایی را که بدون نگاه به پاسخ حل نکردی علامت بزن و در مرور بعدی فقط همانها را دوباره حل کن.
۶ نکتهٔ منتخب · پایه دوازدهم