پایه دوازدهم · فصل ۰۶
از جمله: تفکر تجسمی و مقطع · دوران شکلها · مقاطع مخروطی · بیضی و دو کانون · معادلۀ دایره
۶ نکتهٔ منتخبهندسه
این جزوه همراهت است تا نکتههای پربازده فصل را مرور کنی. اول نکته را بخوان، مثال را خودت روی کاغذ حل کن و بعد پاسخ ایستگاه سنجش را ببین.
هندسه را ببین
۱تفکر تجسمی و مقطع
مقطع شکل مشترک جسم و صفحۀ برش است. در استوانۀ قائم، برش موازی قاعده دایره و برش محوری مستطیل است.
جهت صفحه تعیینکنندۀ شکل است. در مخروط نیز تغییر زاویۀ برش، مقطع را عوض میکند؛ شکل دوبعدی را از روی نام جسم بهتنهایی نمیتوان تعیین کرد.
اگر صفحهای کرهٔ توپر به شعاع R را در فاصلهٔ d از مرکز قطع کند، برای ۰≤d<R مقطع یک قرص دایرهای است. شعاع مقطع را ρ بگیریم؛ پارهخط عمود مرکز کره تا صفحه با شعاع مقطع زاویهٔ قائمه دارد و R۲=d۲+ρ۲. بنابراین ρ۲=R۲−d۲ و مساحت مقطع π(R۲−d۲) است. بزرگترین مقطع از مرکز میگذرد، چون d=۰ بیشترین شعاع را میدهد.
۲دوران شکلها
با دوران مستطیل حول یکی از ضلعها، استوانه حاصل میشود؛ شعاع ضلع دیگر و ارتفاع همان ضلع محور است. دوران مثلث قائم حول یک ساق، مخروط میسازد.
محور دوران باید دقیق معلوم باشد چون انتخاب محور حجم را تغییر میدهد.
۳مقاطع مخروطی
برش سطح مخروطی دوطرفه با صفحه میتواند دایره، بیضی، سهمی یا هذلولی بسازد. صفحۀ موازی قاعده دایره میدهد؛ صفحهای مناسب که فقط یک نیمه را ببرد و موازی مولد نباشد بیضی میدهد؛ اگر صفحه فقط یک نیمه را ببرد و با یک مولد آن موازی باشد سهمی میدهد، اما برش هر دو نیمه هذلولی است.
برشهای گذرنده از رأس ممکن است حالتهای تباهیده بدهند؛ اینجا حالتهای معمول را میخوانیم.
۴بیضی و دو کانون
بیضی مجموعه نقطههایی است که مجموع فاصلهشان از دو کانون مقدار ثابت ۲a دارد. با نیمقطر بزرگ a، نیمقطر کوچک b و نصف فاصلۀ کانونی c، رابطۀ a۲=b۲+c۲ برقرار است. در بیضی غیرمدور، ۰<c<a. این درس ویژگیهای هندسی را بررسی میکند و به معادلۀ بیضی نیاز ندارد.
خروج از مرکز e=c/a میزان کشیدگی بیضی است. برای بیضی غیرمدور ۰<e<۱؛ هرچه e به صفر نزدیکتر باشد شکل گردتر و هرچه به یک نزدیکتر باشد کشیدهتر است. c فاصلۀ مرکز تا یک کانون و ۲c فاصلۀ دو کانون است. برای a=۵ و b=۳، c=√(۲۵−۹)=۴ و e=۴/۵.
۵معادلۀ دایره
برای مرکز (h,k) و شعاع r مثبت، فاصلۀ نقطه (x,y) تا مرکز باید r باشد؛ با مربع کردن فرمول فاصله، معادلۀ دایره به دست میآید. در معادلۀ گسترشیافته، با مربع کامل مرکز و شعاع را پیدا کن.
اگر r۲ منفی شود دایرۀ حقیقی نداریم.
۶وضعیت خط و دایره
اگر فاصلۀ مرکز از خط کمتر از شعاع باشد، دو برخورد داریم؛ برابر شعاع، خط مماس است؛ بیشتر، برخوردی نیست. شعاع وصلشده به نقطۀ تماس بر مماس عمود است.
برای نقطۀ روی دایره، این عمود بودن معادلۀ مماس را مشخص میکند.
برای دو دایره با شعاعهای مثبت r و R و فاصلهٔ مرکزها d، ابتدا |R−r| و R+r را حساب کن. اگر d>R+r دایرهها بیرون یکدیگرند؛ اگر d=R+r مماس بیرونیاند؛ اگر |R−r|<d<R+r دو نقطهٔ اشتراک دارند؛ اگر d=|R−r| و d>۰ مماس درونیاند؛ و اگر d<|R−r| یکی داخل دیگری و بدون اشتراک است. حالت d=۰ و r=R جداست: دو دایره منطبقاند و بینهایت نقطهٔ مشترک دارند.
کارگاه جمعبندی: تفکر تجسمی و مقطع
پیشنیاز: فاصلۀ نقطهها، فیثاغورس و هندسهٔ پایه
مقطع شکل مشترک جسم و صفحۀ برش است. در استوانۀ قائم، برش موازی قاعده دایره و برش محوری مستطیل است. جهت صفحه تعیینکنندۀ شکل است. در مخروط نیز تغییر زاویۀ برش، مقطع را عوض میکند؛ شکل دوبعدی را از روی نام جسم بهتنهایی نمیتوان تعیین کرد.
حل را قدمبهقدم ببین
- استوانهٔ قائم با قاعدهٔ دایرهای را با صفحهای موازی قاعده و بین دو قاعده قطع میکنیم.
- مرز مقطع، دایرهای همشعاع قاعده است؛ نقاط داخل قرص فاصلههای متفاوتی از محور دارند.
- خود مقطع یک قرص دایرهای است و محیط آن فقط مرز مقطع را نشان میدهد.
- اگر صفحه از خارج جسم بگذرد مقطعی نداریم.
- واژهٔ «برش افقی» تنها وقتی همین معنا را دارد که محور استوانه قائم فرض شده باشد.
صفحه باید موازی قاعده و میان دو قاعده باشد؛ صفحهٔ بیرون جسم مقطعی نمیسازد.
اصلاح: برش محوری مستطیل است؛ جهت صفحه مهم است.
فصل را فعالانه مرور کردی
مثالهایی را که بدون نگاه به پاسخ حل نکردی علامت بزن و در مرور بعدی فقط همانها را دوباره حل کن.
۶ نکتهٔ منتخب · پایه دوازدهم