پایه دوازدهم · فصل ۰۵
از جمله: نقاط بحرانی · علامت مشتق و یکنوایی · اکسترمم نسبی · اکسترمم مطلق روی بازۀ بسته · بهینهسازی هندسی
۶ نکتهٔ منتخبکاربرد مشتق
این جزوه همراهت است تا نکتههای پربازده فصل را مرور کنی. اول نکته را بخوان، مثال را خودت روی کاغذ حل کن و بعد پاسخ ایستگاه سنجش را ببین.
کاربرد مشتق را ببین
۱نقاط بحرانی
نقطۀ بحرانی در دامنه جایی است که مشتق صفر یا ناموجود باشد. این نقاط نامزد اکسترمماند، نه تضمین آن.
نقاطی که خود تابع تعریف ندارد، نقطۀ بحرانی تابع محسوب نمیشوند. برای نتیجه نهایی باید رفتار تابع یا علامت مشتق اطراف را بررسی کرد.
۲علامت مشتق و یکنوایی
روی بازهای که تابع مشتقپذیر است، مثبت بودن مشتق صعودی بودن و منفی بودن نزولی بودن را نتیجه میدهد. برای پیدا کردن بازهها، صفرها و نقاط ناموجود مشتق را روی محور بگذار و در فاصلهها علامت را تعیین کن.
مشتق صفر در یک نقطۀ منفرد لزوماً یکنوایی را متوقف نمیکند.
۳اکسترمم نسبی
اگر مشتق از مثبت به منفی تغییر کند، در نقطۀ میانی بیشینۀ نسبی و اگر از منفی به مثبت تغییر کند کمینۀ نسبی داریم، با فرض پیوستگی در نقطه. اگر علامت تغییر نکند، آزمون اکسترمم نمیدهد. مقدار اکسترمم با جایگذاری نقطه در خود تابع محاسبه میشود.
سه رفتار را مقایسه کن: x۲ در صفر مشتق صفر و کمینه دارد چون علامت مشتق از منفی به مثبت عوض میشود؛ x۳ در صفر مشتق صفر دارد اما علامت مشتق عوض نمیشود و اکسترمم ندارد؛ |x| در صفر کمینه دارد ولی مشتقپذیر نیست. پس هم ریشههای مشتق و هم نقاط مشتقناپذیر فقط نامزد بررسیاند.
۴اکسترمم مطلق روی بازۀ بسته
برای تابع پیوسته روی بازۀ بسته، بیشینه و کمینۀ مطلق وجود دارند. مقدار تابع را در نقاط بحرانی داخل بازه و دو سر بازه حساب و مقایسه کن.
بررسی فقط ریشههای مشتق، اکسترمم سرحدی را از قلم میاندازد. روی بازۀ باز ممکن است مقدار حدی حاصل نشود.
۵بهینهسازی هندسی
در مسئلۀ بهینهسازی، قید را برای حذف یک متغیر به کار ببر. سپس دامنۀ فیزیکی مانند مثبت بودن طولها را تعیین کن. تابع هدف را مشتق بگیر، نامزدها را بیاب و نوع پاسخ را کنترل کن. جواب نهایی باید همراه واحد و با زبان مسئله باشد.
از شکل تا تابع هدف: اگر از چهار گوشهٔ یک ورق مربع با ضلع L مربعهایی با ضلع x ببریم و لبهها را تا کنیم، ارتفاع جعبه x و هر ضلع کف L−۲x است، چون از هر ضلع دو برش حذف میشود. پس حجم V(x)=x(L−۲x)۲ است. برای جعبهٔ واقعی ۰<x<L/۲؛ دو سر بازه حجم صفر دارند و فقط برای کنترل رفتار مرزی مدل استفاده میشوند.
مثال حلشده: ضلع ورق ۲۴ سانتیمتر است. V=x(۲۴−۲x)۲ و ۰<x<۱۲. با قاعدهٔ ضرب، V′=(۲۴−۲x)۲−۴x(۲۴−۲x)=(۲۴−۲x)(۲۴−۶x). صفرهای مشتق ۴ و ۱۲ هستند؛ ۱۲ مرزِ جعبهٔ فروریخته است. در (۰,۴) هر دو عامل مثبتاند؛ در (۴,۱۲) عامل اول مثبت و دوم منفی است. پس حجم ابتدا زیاد و سپس کم میشود و x=۴ بیشینهٔ مطلق را میدهد.
۶بهینهسازی با قید و کنترل
در مدل هزینه، مساحت یا فاصله، شرطهای واقعی بخشی از حلاند. پس از پیدا کردن نقطۀ بحرانی، بررسی کن که در دامنه باشد و مقدار هدف واقعاً بهتر از سرحدها باشد.
اگر تابع هدف درجه دوم است، مربع کامل نیز راهی برای تأیید مستقل پاسخ مشتق است.
در کمینهکردن زمان، باید زمان هر بخش را جدا از رابطهٔ فاصله بر سرعت بسازیم؛ کمترین مسیر لزوماً کمترین زمان نیست. فردی ۳ کیلومتر از ساحل مستقیم فاصله دارد و مقصد ۶ کیلومتر در امتداد ساحل جلوتر از نزدیکترین نقطهٔ ساحل است. اگر x کیلومتر جلوتر از آن نقطه پیاده شود، طول مسیر آبی √(۹+x۲) و مسیر خشکی ۶−x است. با سرعت آبی ۳ و خشکی ۵ کیلومتر بر ساعت، T(x)=√(۹+x۲)/۳+(۶−x)/۵ و ۰≤x≤۶.
کارگاه جمعبندی: نقاط بحرانی
پیشنیاز: مشتق، دامنه، هندسه و جدول علامت
نقطۀ بحرانی در دامنه جایی است که مشتق صفر یا ناموجود باشد. این نقاط نامزد اکسترمماند، نه تضمین آن. نقاطی که خود تابع تعریف ندارد، نقطۀ بحرانی تابع محسوب نمیشوند. برای نتیجه نهایی باید رفتار تابع یا علامت مشتق اطراف را بررسی کرد.
حل را قدمبهقدم ببین
- برای f(x)=x۳، مشتق ۳x۲ است و فقط در x=۰ صفر میشود.
- در دو طرف صفر مشتق مثبت است
- تابع هم پیش از صفر و هم پس از آن افزایش مییابد.
- برای هر ε>۰، مقدار f(−ε)<f(۰)<f(ε) است
- پس صفر نه کمینه است و نه بیشینه.
- نقطهٔ بحرانی فقط نامزد بررسی است.
نقطۀ بحرانی در دامنه جایی است که مشتق صفر یا ناموجود باشد.
نقاطی که خود تابع تعریف ندارد، نقطۀ بحرانی تابع محسوب نمیشوند.
اصلاح: x۳ در صفر مثال نقض است.
فصل را فعالانه مرور کردی
مثالهایی را که بدون نگاه به پاسخ حل نکردی علامت بزن و در مرور بعدی فقط همانها را دوباره حل کن.
۶ نکتهٔ منتخب · پایه دوازدهم