$جلد تأییدشدهٔ نکات ناب ریاضی رندو مکس$

پایه دوازدهم · فصل ۰۴

مشتق

از جمله: آهنگ تغییر متوسط · مشتق از تعریف · قانون‌های مشتق · مشتق ضرب و خارج‌قسمت · پیوستگی و مشتق‌پذیری

۷ نکتهٔ منتخب

رندو مکس · نکات نابپایه دوازدهم · نقشه فصل

قبل از شروع

مشتق

$راهنمای ریاضی رندو$

این جزوه همراهت است تا نکته‌های پربازده فصل را مرور کنی. اول نکته را بخوان، مثال را خودت روی کاغذ حل کن و بعد پاسخ ایستگاه سنجش را ببین.

۱. آهنگ تغییر متوسط

۲. مشتق از تعریف

۳. قانون‌های مشتق

۴. مشتق ضرب و خارج‌قسمت

۵. پیوستگی و مشتق‌پذیری

۶. مماس و آهنگ لحظه‌ای

۷. مشتق رادیکال‌های کتاب

کارگاه آهنگ تغییر متوسط

رندو مکس · نکات نابپایه دوازدهم · شکل‌خوانی

نقشهٔ تصویری فصل

مشتق را ببین

قاطعِ دو نقطه روی y=x² با نزدیک‌شدن Q به P، به مماس در P تبدیل می‌شود؛ شیب حدی در x=1 برابر ۲ است. — قاطعِ دو نقطه روی y=x^۲ با نزدیک‌شدن Q به P، به مماس در P تبدیل می‌شود؛ شیب حدی در x=۱ برابر ۲ است.

رندو مکس · نکات نابمشتق

نکتهٔ ۱ از ۷

۱آهنگ تغییر متوسط

نسبت تغییر تابع به تغییر ورودی، شیب خط قاطع نمودار است. این مقدار رفتار کل بازه را خلاصه می‌کند و با آهنگ لحظه‌ای یک نقطه لزوماً برابر نیست.

واحد آن، واحد خروجی تقسیم بر واحد ورودی است؛ مثلاً متر بر ثانیه.

[f(b)−f(a)]/(b−a), a≠b

مثال حل‌شدهبرای s(t)=t^۲−۶t از t=۱ تا t=۵، تغییر مکان s(۵)−s(۱)=۰ و سرعت متوسط صفر است. این نتیجه به معنی ساکن بودن در تمام بازه نیست؛ مقدار s(۳)=−۹ با دو سر −۵ فرق دارد.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: باید بر اختلاف ورودی‌ها هم تقسیم شود.

ایستگاه سنجشآهنگ متوسط x^۲ از ۲ تا ۴ چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیق(۱۶−۴)/۲=۶.

رندو مکس · نکات نابمشتق

نکتهٔ ۲ از ۷

۲مشتق از تعریف

مشتق در a حدِ نسبت تغییرات است وقتی فاصله ورودی‌ها به صفر می‌رسد. اگر این حد حقیقی موجود باشد، شیب مماس به دست می‌آید.

ابتدا اختلاف f(a+h)−f(a) را با پرانتز کامل بنویس، سپس عامل h را برای h≠۰ ساده کن و در پایان حد بگیر.

f′(a)=lim_h→۰[f(a+h)−f(a)]/h

مثال حل‌شدهبرای f(x)=x^۲+۳ در نقطۀ ۱، نسبت تغییر [f(۱+h)−f(۱)]/h=۲+h برای h≠۰ است؛ حد ۲ می‌شود. ثابت ۳ در تفاضل حذف می‌شود، نه اینکه شیب را سه واحد زیاد کند.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: ابتدا شکل ۰/۰ داریم؛ باید ساده‌سازی و حدگیری انجام شود.

ایستگاه سنجشمشتق x^۲ در x=۳ چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیق۶.

رندو مکس · نکات نابمشتق

نکتهٔ ۳ از ۷

۳قانون‌های مشتق

مشتق ثابت صفر و مشتق xⁿ برابر nx^n−۱ در نقاط مجاز است. مشتق جمع برابر جمع مشتق‌ها و ضریب ثابت بیرون می‌ماند.

در این درس، قوانین را روی توابع مطرح‌شده مانند چندجمله‌ای و گویا اجرا می‌کنیم؛ دامنه مشتق را جدا بررسی کن.

در تابع مرکب h=f∘g، اگر g در x و f در g(x) مشتق‌پذیر باشند، h′(x)=f′(g(x))×g′(x). مشتق تابع بیرونی را در خروجی تابع داخلی حساب می‌کنیم و سپس در مشتق داخلی ضرب می‌کنیم. مثال: h(x)=(x^۲+۱)^۳؛ بیرونی u^۳ و داخلی x^۲+۱ است، پس h′=۳(x^۲+۱)^۲×۲x=۶x(x^۲+۱)^۲. فراموش‌کردن ۲x یکی از عوامل لازم را حذف می‌کند.

(xⁿ)′=nx^n−۱; (cf+g)′=cf′+g′

مثال حل‌شدهمشتق ۴x^۳−۲x^۲+۹ برابر ۱۲x^۲−۴x است؛ مشتق عدد ثابت صفر است، نه ۹. در x=۱ شیب ۸ می‌شود.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: ثابت تغییر نمی‌کند؛ مشتقش صفر است.

ایستگاه سنجشمشتق ۵x^۳ چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیق۱۵x^۲.

رندو مکس · نکات نابمشتق

نکتهٔ ۴ از ۷

۴مشتق ضرب و خارج‌قسمت

در ضرب دو تابع، مشتق فقط حاصل‌ضرب مشتق‌ها نیست؛ هر بار یکی را مشتق و دیگری را ثابت نگه می‌داریم و جمع می‌کنیم. در خارج‌قسمت، ترتیب صورت مهم است و مخرج مربع می‌شود.

مخرج تابع اصلی باید ناصفر باشد.

(fg)′=f′g+fg′; (f/g)′=(f′g−fg′)/g^۲

مثال حل‌شدهبرای f(x)=x^۲(x+۳)، مشتق ۲x(x+۳)+x^۲=۳x^۲+۶x است. ضرب مشتق دو عامل فقط ۲x می‌دهد و قانون صحیح مشتق ضرب نیست.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: برای f=g=x، مشتق x^۲ برابر ۲x است نه ۱.

ایستگاه سنجشمشتق ۱/x برای x≠۰ چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیق−۱/x^۲.

رندو مکس · نکات نابمشتق

نکتهٔ ۵ از ۷

۵پیوستگی و مشتق‌پذیری

مشتق‌پذیری در یک نقطۀ داخلی دامنه، پیوستگی را نتیجه می‌دهد؛ عکس آن درست نیست. تابع قدرمطلق در صفر پیوسته است ولی شیب چپ −۱ و راست ۱ است و مشتق ندارد. در چندضابطه‌ای، نخست پیوستگی و سپس برابری مشتق‌های یک‌طرفه را بررسی کن.

نبود مشتق همیشه به معنی نبود خط مماس نیست. مشتق در تعریف این درس یک حد حقیقی متناهی است؛ اگر نسبت تغییرات نامتناهی شود، آن را عدد مشتق نمی‌نامیم. نمونهٔ روشن، f(x)=∛x در صفر است: تابع در صفر پیوسته است و f(۰)=۰.

مثال حل‌شده: برای h≠۰ نسبت [f(h)−f(۰)]/h برابر ∛h/h=۱/(∛h)^۲ است. مخرج مثبت است و با نزدیک‌شدن h از هر دو طرف به صفر، به صفر میل می‌کند؛ بنابراین نسبت به +∞ می‌رود. مشتق حقیقی متناهی f در صفر وجود ندارد، ولی خطوط قاطع به خط قائم x=۰ نزدیک می‌شوند؛ این خط مماس قائم منحنی در مبدأ است. این محاسبه مخصوص همین مثال است، نه مجوز نامیدن هر حد یک‌طرفۀ نامتناهی به‌عنوان مماس قائم.

مشتق‌پذیری ⇒ پیوستگی

مثال حل‌شدهتابع |x−۳| در ۳ پیوسته است ولی مشتق چپ −۱ و راست ۱ است؛ پس مشتق ندارد. برابر بودن مقدار و حد، برابری شیب‌های یک‌طرفه را تضمین نمی‌کند.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: |x| در صفر مثال نقض است.

ایستگاه سنجشآیا تابع دارای پرش در a می‌تواند در a مشتق‌پذیر باشد؟

پاسخ کوتاه و دقیقخیر؛ مشتق‌پذیری، پیوستگی لازم دارد.

رندو مکس · نکات نابمشتق

نکتهٔ ۶ از ۷

۶مماس و آهنگ لحظه‌ای

برای خط مماس در x=a، هم نقطۀ (a,f(a)) و هم شیب f′(a) لازم است. در مدل مکان، مشتق سرعت علامت‌دار را می‌دهد و تندی قدرمطلق سرعت است.

مشتق منفی یعنی خروجی در همان وضعیت رو به کاهش است، نه اینکه خود خروجی منفی باشد.

y−f(a)=f′(a)(x−a)

مثال حل‌شدهبرای y=x^۲+۱ در x=−۱، نقطۀ تماس (−۱,۲) و شیب −۲ است؛ مماس y−۲=−۲(x+۱)، یعنی y=−۲x. مقدار تابع ۲ را نباید با شیب −۲ جابه‌جا کرد.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: تندی قدرمطلق سرعت و نامنفی است؛ علامت سرعت جهت حرکت را نشان می‌دهد.

ایستگاه سنجششیب مماس x^۲−۱ در x=۱ چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیق۲.

رندو مکس · نکات نابمشتق

نکتهٔ ۷ از ۷

۷مشتق رادیکال‌های کتاب

برای مشتق ریشۀ دوم یک تابع گویا، در نقطه‌هایی که داخل ریشه مثبت است، مشتق داخل را بر دو برابر خود ریشه تقسیم می‌کنیم. برای ریشۀ سوم، مخرج سه برابر مربع ریشۀ سوم است و در صفر شدن آن باید جدا به تعریف برگردیم.

در این کتاب، کاربرد رادیکالی در همین ساختارهای ریشۀ دوم و سومِ تابع گویا نگه داشته می‌شود.

(√u)′=u′/(۲√u) (u>۰); (∛u)′=u′/[۳(∛u)^۲] (u≠۰)

مثال حل‌شدهبرای f(x)=√(۵−x)، دامنه x≤۵ ولی فرمول مشتق −۱/[۲√(۵−x)] فقط برای x<۵ معتبر است. در ۵ مشتق معمول متناهی نداریم؛ دامنهٔ تابع با دامنهٔ فرمول مشتق یکی نیست.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: فرمول ۱/(۲√x) در صفر مخرج صفر دارد؛ مشتق حقیقی متناهی در آنجا به دست نمی‌آید.

ایستگاه سنجشمشتق √x در x=۴ چند است؟

پاسخ کوتاه و دقیق۱/(۲√۴)=۱/۴.

رندو مکس · نکات نابمشتق

کارگاه پایه و انتقال یادگیری

کارگاه جمع‌بندی: آهنگ تغییر متوسط

پیش‌نیاز: حد، تابع مرکب و جبر چندجمله‌ای

نسبت تغییر تابع به تغییر ورودی، شیب خط قاطع نمودار است. این مقدار رفتار کل بازه را خلاصه می‌کند و با آهنگ لحظه‌ای یک نقطه لزوماً برابر نیست. واحد آن، واحد خروجی تقسیم بر واحد ورودی است؛ مثلاً متر بر ثانیه.

حل را قدم‌به‌قدم ببین

برای f(x)=x^۲ از x=۱ تا x=۳، تغییر خروجی ۹−۱=۸ و تغییر ورودی ۳−۱=۲ است
آهنگ متوسط ۸/۲=۴.
این عدد شیب خط قاطعِ نقاط (۱,۱) و (۳,۹) است.
تقسیم بر طول بازه مهم است
فقط اختلاف خروجی یعنی ۸ هنوز آهنگ تغییر نیست.

واحد آن، واحد خروجی تقسیم بر واحد ورودی است؛ مثلاً متر بر ثانیه.

اشتباه رایجآهنگ متوسط همیشه برابر اختلاف خروجی‌هاست.
اصلاح: باید بر اختلاف ورودی‌ها هم تقسیم شود.

تمرین مستقل: اگر f(x)=x^۳−۲x باشد، آهنگ لحظه‌ای تغییر را در x=۱ بیاب.

پاسخ تشریحی: مشتق f′(x)=۳x^۲−۲ است؛ با جایگذاری x=۱ داریم f′(۱)=۳−۲=۱.

رندو مکس · نکات نابپایان مرور

$راهنمای ریاضی رندو$

فصل را فعالانه مرور کردی

مثال‌هایی را که بدون نگاه به پاسخ حل نکردی علامت بزن و در مرور بعدی فقط همان‌ها را دوباره حل کن.

۷ نکتهٔ منتخب · پایه دوازدهم

پایه دوازدهم · فصل ۰۴

مشتق

مشتق را ببین

۱آهنگ تغییر متوسط

۲مشتق از تعریف

۳قانون‌های مشتق

۴مشتق ضرب و خارج‌قسمت

۵پیوستگی و مشتق‌پذیری

۶مماس و آهنگ لحظه‌ای

۷مشتق رادیکال‌های کتاب

کارگاه جمع‌بندی: آهنگ تغییر متوسط

حل را قدم‌به‌قدم ببین

فصل را فعالانه مرور کردی

جزوه رایگان و نکات ناب رندو مکس