$جلد تأییدشدهٔ نکات ناب ریاضی رندو مکس$

پایه دوازدهم · فصل ۰۲

مثلثات

از جمله: تناوب · تابع تانژانت · معادلۀ سینوسی · معادلۀ کسینوسی · معادلۀ تانژانت

۶ نکتهٔ منتخب

رندو مکس · نکات نابپایه دوازدهم · نقشه فصل

قبل از شروع

مثلثات

$راهنمای ریاضی رندو$

این جزوه همراهت است تا نکته‌های پربازده فصل را مرور کنی. اول نکته را بخوان، مثال را خودت روی کاغذ حل کن و بعد پاسخ ایستگاه سنجش را ببین.

۱. تناوب

۲. تابع تانژانت

۳. معادلۀ سینوسی

۴. معادلۀ کسینوسی

۵. معادلۀ تانژانت

۶. تجزیه و پرهیز از حذف جواب

کارگاه تناوب

رندو مکس · نکات نابپایه دوازدهم · شکل‌خوانی

نقشهٔ تصویری فصل

مثلثات را ببین

نمودار تانژانت میان دو مجانب؛ در x=±π/2 تعریف نشده و کوچک‌ترین دورۀ مثبت آن π است. — نمودار تانژانت میان دو مجانب؛ در x=±π/۲ تعریف نشده و کوچک‌ترین دورۀ مثبت آن π است.

رندو مکس · نکات نابمثلثات

نکتهٔ ۱ از ۶

۱تناوب

T مثبت یک دورۀ تابع است اگر با افزودن آن به ورودی، مقدار تابع در همۀ نقاط مجاز تکرار شود و دامنه هم حفظ شود. کوچک‌ترین دورۀ مثبت در صورت وجود، تناوب اصلی است.

هر مضرب صحیح مثبتِ دوره نیز دوره است اما لزوماً اصلی نیست.

f(x+T)=f(x)

مثال حل‌شدهبرای cos(۳x)، کوچک‌ترین دورهٔ مثبت ۲π/۳ است و ۴π/۳ نیز دوره است. ادعای «هر دوره همان کوچک‌ترین دوره است» با همین دو مقدار رد می‌شود.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: دوره اصلی کوچک‌ترین دورۀ مثبت است؛ مضرب‌ها هم دوره‌اند.

ایستگاه سنجشتناوب اصلی sin۳x چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیق۲π/۳.

رندو مکس · نکات نابمثلثات

نکتهٔ ۲ از ۶

۲تابع تانژانت

تانژانت نسبت سینوس به کسینوس است. در π/۲+kπ تعریف ندارد و نمودار در این نقاط مجانب عمودی دارد.

تناوب اصلی tan x برابرπ است و در هر بازۀ بین دو مجانب صعودی است. نمی‌توان این صعود موضعی را به کل دامنۀ گسستۀ آن تعمیم داد.

D_tan=R∖{π/۲+kπ | k∈Z}; T=π

مثال حل‌شدهتابع tan(x−π/۴) در x=۳π/۴+kπ تعریف ندارد؛ شرط از x−π/۴=π/۲+kπ می‌آید. انتقال نمودار، محل مجانب‌ها را هم منتقل می‌کند.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: در صفرهای کسینوس تعریف ندارد.

ایستگاه سنجشتناوب tan۲x چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیقπ/۲.

رندو مکس · نکات نابمثلثات

نکتهٔ ۳ از ۶

۳معادلۀ سینوسی

برای sin x=sin α، در هر دور دو خانوادۀ زاویه داریم: α و π−α. سپس مضرب‌های ۲π را اضافه می‌کنیم.

اگر بازه داده شده، فقط جواب‌های داخل آن را نگه دار. برای |c|>۱، معادلۀ sin x=c هیچ جواب حقیقی ندارد.

x=α+۲kπ یا x=π−α+۲kπ

مثال حل‌شدهمعادلۀ sinx=−۱/۲ در [۰,۲π) جواب‌های ۷π/۶ و ۱۱π/۶ دارد. زاویۀ مرجع π/۶ است، ولی علامت منفی ناحیه‌های سوم و چهارم را انتخاب می‌کند.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: برای sin x=−۱/۲، دو خانوادۀ x=−π/۶+۲kπ و x=۷π/۶+۲kπ داریم؛ خانوادۀ اول را می‌توان x=۱۱π/۶+۲kπ نیز نوشت.

ایستگاه سنجشsin x=۰ در [۰،۲π) چه جواب‌هایی دارد؟

پاسخ کوتاه و دقیق۰ وπ؛ ۲π به دلیل باز بودن سرحد حذف است.

رندو مکس · نکات نابمثلثات

نکتهٔ ۴ از ۶

۴معادلۀ کسینوسی

برای cos x=cos α، جواب‌ها ±α+۲kπ هستند. در بازۀ محدود ابتدا خانواده‌ها را بنویس و سپس عددهای مجاز k را تعیین کن.

در زاویه‌های خاص مثل صفر وπ، دو خانواده ممکن است جواب تکراری بدهند؛ جواب‌های متمایز را بشمار.

x=±α+۲kπ

مثال حل‌شدهمعادلۀ cosx=−√۲/۲ در [۰,۲π) جواب‌های ۳π/۴ و ۵π/۴ دارد. کسینوس در ناحیه‌های دوم و سوم منفی است؛ قرینهٔ زاویه نسبت به محور افقی مقدار را حفظ می‌کند.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: در مقادیر حدی ±۱، خانواده‌ها روی هم می‌افتند.

ایستگاه سنجشcos x=−۱ در [۰،۲π) چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیقفقطπ.

رندو مکس · نکات نابمثلثات

نکتهٔ ۵ از ۶

۵معادلۀ تانژانت

برای tan x=tan α، خانواده x=α+kπ است. هنگام تبدیل معادلۀ کسری به تانژانت، نقاطی که بر کسینوسشان تقسیم کرده‌ایم باید جدا بررسی شوند.

در معادلۀ مستقیم تانژانت، نقاط خارج دامنه هیچ‌وقت جواب نیستند.

tan x=tan α ⇒ x=α+kπ

مثال حل‌شدهtanx=−۱ در [۰,۲π) جواب‌های ۳π/۴ و ۷π/۴ دارد. اختلاف دو جواب π است؛ تنها نوشتن خانوادۀ ۳π/۴+۲kπ نصف جواب‌های عمومی را حذف می‌کند.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: کوچک‌ترین دورۀ مثبت π است؛ ۲π نیز یک دوره است، اما دورۀ اصلی نیست. نوشتن α+۲kπ به‌تنهایی جواب α+π را جا می‌اندازد.

ایستگاه سنجشtan x=۰ در [۰،π) چه جوابی دارد؟

پاسخ کوتاه و دقیقفقط ۰.

رندو مکس · نکات نابمثلثات

نکتهٔ ۶ از ۶

۶تجزیه و پرهیز از حذف جواب

در معادلۀ مثلثاتی، همه جمله‌ها را به یک طرف ببر و عامل مشترک بگیر. اگر حاصل‌ضرب صفر باشد، هر عامل را جدا حل کن.

تقسیم بر sin x یا cos x بدون بررسی صفرهای آن‌ها می‌تواند جواب‌های واقعی را حذف کند. در پایان هم دامنه و هم بازه جواب بررسی می‌شوند.

AB=۰⇒A=۰یاB=۰

مثال حل‌شدهدر cosx(sinx−۱)=۰ نباید بر cosx تقسیم کرد. روی [۰,۲π)، عامل اول x=π/۲ و ۳π/۲ را می‌دهد و عامل دوم فقط π/۲؛ اجتماع دو مجموعه همان دو جواب است و تکرار حذف می‌شود.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: اگر sin x=۰ باشد ممکن است جواب حذف شود.

ایستگاه سنجشsin x(۲cos x−۱)=۰ در [۰،π] را حل کن.

پاسخ کوتاه و دقیقاز سینوس:۰ وπ؛ از کسینوس:π/۳. مجموع سه جواب.

رندو مکس · نکات نابمثلثات

کارگاه پایه و انتقال یادگیری

کارگاه جمع‌بندی: تناوب

پیش‌نیاز: رادیان و نمودارهای مثلثاتی یازدهم

T مثبت یک دورۀ تابع است اگر با افزودن آن به ورودی، مقدار تابع در همۀ نقاط مجاز تکرار شود و دامنه هم حفظ شود. کوچک‌ترین دورۀ مثبت در صورت وجود، تناوب اصلی است. هر مضرب صحیح مثبتِ دوره نیز دوره است اما لزوماً اصلی نیست.

حل را قدم‌به‌قدم ببین

برای هر x، sin(x+۲π)=sin x
پس ۲π یک دوره است.
دوبار تکرار نیز sin(x+۴π)=sin x می‌دهد
۴π هم دوره است ولی کوچک‌ترین دورهٔ مثبت نیست.
π دوره نیست، چون sin(π/۲)=۱ اما sin(π/۲+π)=−۱.
دوره باید برای تمام ورودی‌ها رابطه را حفظ کند، نه فقط یک نقطه.

T مثبت یک دورۀ تابع است اگر با افزودن آن به ورودی، مقدار تابع در همۀ نقاط مجاز تکرار شود و دامنه هم حفظ شود.

اشتباه رایجهر دورۀ تابع همان تناوب اصلی است.
اصلاح: دوره اصلی کوچک‌ترین دورۀ مثبت است؛ مضرب‌ها هم دوره‌اند.

تمرین مستقل: جواب‌های cos x=۰ را در بازۀ [۰،۲π) بیاب.

پاسخ تشریحی: کسینوس روی محور عمودی صفر است؛ بنابراین در یک دور x=π/۲ و x=۳π/۲.

رندو مکس · نکات نابپایان مرور

$راهنمای ریاضی رندو$

فصل را فعالانه مرور کردی

مثال‌هایی را که بدون نگاه به پاسخ حل نکردی علامت بزن و در مرور بعدی فقط همان‌ها را دوباره حل کن.

۶ نکتهٔ منتخب · پایه دوازدهم

پایه دوازدهم · فصل ۰۲

مثلثات

مثلثات را ببین

۱تناوب

۲تابع تانژانت

۳معادلۀ سینوسی

۴معادلۀ کسینوسی

۵معادلۀ تانژانت

۶تجزیه و پرهیز از حذف جواب

کارگاه جمع‌بندی: تناوب

حل را قدم‌به‌قدم ببین

فصل را فعالانه مرور کردی

جزوه رایگان و نکات ناب رندو مکس