جلد تأییدشدهٔ نکات ناب ریاضی رندو مکس

پایه دوازدهم · فصل ۰۱

تابع

از جمله: چندجمله‌ای و رفتار نمودار · صعود و نزول · ترکیب توابع · دامنۀ ترکیب · وارون و محدود کردن دامنه

۶ نکتهٔ منتخب
رندو مکس · نکات نابپایه دوازدهم · نقشه فصل
قبل از شروع

تابع

راهنمای ریاضی رندو

این جزوه همراهت است تا نکته‌های پربازده فصل را مرور کنی. اول نکته را بخوان، مثال را خودت روی کاغذ حل کن و بعد پاسخ ایستگاه سنجش را ببین.

۱. چندجمله‌ای و رفتار نمودار
۲. صعود و نزول
۳. ترکیب توابع
۴. دامنۀ ترکیب
۵. وارون و محدود کردن دامنه
۶. خواندن مقدار وارون
کارگاه چندجمله‌ای و رفتار نمودار
مسیر مرور فصل۲ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابپایه دوازدهم · شکل‌خوانی
نقشهٔ تصویری فصل

تابع را ببین

نمودار y=x²؛ رأس در مبدأ است. در سمت چپ کاهش و در سمت راست افزایش می‌یابد.
نمودار y=x۲؛ رأس در مبدأ است. در سمت چپ کاهش و در سمت راست افزایش می‌یابد.
شکل را به زبان خودت توضیح بده.۳ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابتابع
نکتهٔ ۱ از ۶

۱چندجمله‌ای و رفتار نمودار

چندجمله‌ای از جمع تعداد متناهی جمله‌های axn با توان صحیح نامنفی ساخته می‌شود. درجه بزرگ‌ترین توان با ضریب ناصفر است.

دامنۀ طبیعی چندجمله‌ای تمام حقیقی‌هاست. در رسم، ریشه‌ها، عرض از مبدأ و رفتار دو سر نمودار راهنما هستند؛ وجود x در مخرج معمولاً عبارت را از چندجمله‌ای بودن خارج می‌کند.

درجه: بزرگ‌ترین توان با ضریب ناصفر
مثال حل‌شدهچندجمله‌ای −۲x۴+۳x−۱ درجۀ ۴ دارد و در هر دو سوی بی‌نهایت به −∞ می‌رود. درجهٔ زوج دو انتها را هم‌جهت و ضریب پیشروی منفی جهت را رو به پایین می‌کند.
دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: توان ۱/۲ صحیح نامنفی نیست.
ایستگاه سنجشدرجۀ ۵x۲−۳x۴+۱ چیست؟
پاسخ کوتاه و دقیق۴؛ ترتیب نوشتن جمله‌ها مهم نیست.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۴ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابتابع
نکتهٔ ۲ از ۶

۲صعود و نزول

در تابع صعودی اکید، بزرگ‌تر شدن ورودی همیشه خروجی را بزرگ‌تر می‌کند؛ در نزولی اکید برعکس است. برای تشخیص باید یک بازه مشخص باشد.

تابع x۲ روی کل حقیقی‌ها یکنوا نیست، ولی روی مثبت‌ها صعودی و روی منفی‌ها نزولی است. واژۀ اکید را از غیرنزولی که برابری را هم می‌پذیرد جدا کن.

x۱<x۲ ⇒ f(x۱)<f(x۲)برای صعودی اکید
مثال حل‌شدهf(x)=−|x−۱| روی (−∞,۱] صعودی و روی [۱,+∞) نزولی است. علامت منفی بیرون قدرمطلق، جهت تغییرات |x−۱| را معکوس می‌کند.
دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: مثلاً ۱/x روی مثبت‌ها مثبت ولی نزولی است.
ایستگاه سنجشتابع −۲x+۱ صعودی است یا نزولی؟
پاسخ کوتاه و دقیقنزولی اکید؛ شیب منفی است.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۵ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابتابع
نکتهٔ ۳ از ۶

۳ترکیب توابع

در f∘g ابتدا g را اجرا و سپس خروجی آن را در f جایگذاری کن. ترتیب اهمیت دارد؛ معمولاً f∘g با g∘f یکسان نیست. برای جلوگیری از خطا، یک ورودی عددی را ابتدا مرحله‌به‌مرحله عبور بده و بعد فرمول کلی را بساز.

انبساط و انقباض نمودار: اگر (a,b) روی نمودار f باشد، روی y=kf(x) نقطۀ (a,kb) داریم؛ ورودی ثابت می‌ماند و خروجی در k ضرب می‌شود. برای |k|>۱ کشیدگی عمودی و برای ۰<|k|<۱ فشردگی عمودی داریم؛ k<۰ قرینۀ نسبت به محور افقی را نیز ایجاد می‌کند. دامنه همان دامنۀ f است و برد از ضرب تک‌تک اعضای برد در k به دست می‌آید. برای k=۰ خروجی روی همان دامنه صفر است.

در y=f(kx)، با k≠۰، ورودی تابع اصلی kx است. برای رسیدن به ورودی قدیمی a باید x=a/k باشد؛ پس (a,b) به (a/k,b) می‌رود. برای |k|>۱ نمودار افقی فشرده و برای ۰<|k|<۱ افقی کشیده می‌شود؛ k<۰ قرینۀ نسبت به محور عمودی را هم ایجاد می‌کند. دامنه {x | kx∈Df} و برد همان برد f است. برای k=۰، اگر ۰∈Df باشد تابع ثابت f(۰) به دست می‌آید و قاعدۀ تقسیم مختصات بر k قابل استفاده نیست.

(f∘g)(x)=f(g(x))
مثال حل‌شدهاگر f(x)=۳x−۲ و g(x)=x۲، در x=۲ داریم f(g(۲))=۱۰، ولی g(f(۲))=۱۶. ترتیب ترکیب بخشی از تعریف است و نمی‌توان آن را مانند ضرب اعداد جابه‌جا کرد.
دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: ترتیب دستگاه‌ها معمولاً خروجی را تغییر می‌دهد.
ایستگاه سنجشبرای f(x)=x+۳ و g(x)=۲x، مقدار f(g(۲)) چیست؟
پاسخ کوتاه و دقیقg(۲)=۴ و f(۴)=۷.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۶ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابتابع
نکتهٔ ۴ از ۶

۴دامنۀ ترکیب

برای f(g(x))، ابتدا x باید در دامنۀ g باشد و سپس g(x) در دامنۀ f. فقط اشتراک دو دامنه کافی نیست؛ شرط روی مقدار g اعمال می‌شود.

در ترکیب رادیکال و کسر، این مرحله را به یک نامعادله و ممنوعیت تبدیل کن.

Df∘g={x∈Dg | g(x)∈Df}
مثال حل‌شدهبرای f(x)=√x و g(x)=۴−x۲، ترکیب f∘g زمانی تعریف دارد که ۴−x۲≥۰، یعنی −۲≤x≤۲. تعریف g روی کل R به معنی تعریف ترکیب روی کل R نیست.
دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: باید خروجی تابع درونی هم برای تابع بیرونی مجاز باشد.
ایستگاه سنجشدامنۀ √(۳−x) چیست؟
پاسخ کوتاه و دقیقx≤۳.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۷ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابتابع
نکتهٔ ۵ از ۶

۵وارون و محدود کردن دامنه

وارون تابع وقتی تابع است که تابع اصلی یک‌به‌یک باشد. برای یک تابع درجه دوم می‌توان دامنه را به یک سوی رأس محدود کرد.

آن‌گاه هنگام حل معادلۀ وارون، علامت ریشه را مطابق همین دامنه انتخاب می‌کنیم. دامنۀ وارون از برد تابع اصلی می‌آید.

f−۱(f(x))=xبرای x در دامنۀ f
مثال حل‌شدهبرای f(x)=(x+۱)۲ روی x≤−۱، از √y=|x+۱|=−x−۱ می‌گیریم f−۱(y)=−۱−√y با y≥۰. انتخاب علامت مثبت، شاخهٔ مجاز تابع را عوض می‌کند.
دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: اگر دامنۀ اصلی سمت چپ رأس باشد، شاخۀ منفی لازم است.
ایستگاه سنجشوارون f(x)=۳x−۶ چیست؟
پاسخ کوتاه و دقیق(x+۶)/۳.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۸ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابتابع
نکتهٔ ۶ از ۶

۶خواندن مقدار وارون

اگر f(a)=b و f یک‌به‌یک باشد، f−۱(b)=a. در نمودار، نقطه (a,b) به (b,a) تبدیل می‌شود.

این نگاه، محاسبۀ مقدار وارون را به حل یک معادله ساده تبدیل می‌کند. برای ترکیب با وارون، حتماً مقدار در دامنۀ درست باشد.

f(a)=b ⇒ f−۱(b)=a
مثال حل‌شدهاگر f یک‌به‌یک و f(−۳)=۸ باشد، f−۱(۸)=−۳. این مقدار با ۱/f(۸) ارتباط عمومی ندارد؛ برای خواندن وارون جای ورودی و خروجی را عوض می‌کنیم.
دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: باید ورودی و خروجی جابه‌جا شوند؛ اگر f یک‌به‌یک و f(۲)=۵ باشد، آنگاه f−۱(۵)=۲.
ایستگاه سنجشبرای f(x)=x۳+۱، مقدار f−۱(۹) چیست؟
پاسخ کوتاه و دقیق۲؛ چون ۲۳+۱=۹.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۹ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابتابع
کارگاه پایه و انتقال یادگیری

کارگاه جمع‌بندی: چندجمله‌ای و رفتار نمودار

پیش‌نیاز: تابع‌های دهم و یازدهم و نامعادله

چندجمله‌ای از جمع تعداد متناهی جمله‌های axn با توان صحیح نامنفی ساخته می‌شود. درجه بزرگ‌ترین توان با ضریب ناصفر است. دامنۀ طبیعی چندجمله‌ای تمام حقیقی‌هاست. در رسم، ریشه‌ها، عرض از مبدأ و رفتار دو سر نمودار راهنما هستند؛ وجود x در مخرج معمولاً عبارت را از چندجمله‌ای بودن خارج می‌کند.

حل را قدم‌به‌قدم ببین

  1. در f(x)=۲x۳−x+۴، بزرگ‌ترین توان با ضریب ناصفر ۳ است
  2. درجهٔ چندجمله‌ای ۳ است.
  3. در x=۰ مقدار ۴ داریم و نمودار محور عمودی را در (۰,۴) قطع می‌کند.
  4. برای x مثبتِ بسیار بزرگ جملهٔ ۲x۳ غالب و خروجی مثبت است
  5. برای x منفیِ بسیار بزرگ از نظر قدرمطلق، خروجی منفی می‌شود.
  6. همهٔ ورودی‌های حقیقی مجازند.

درجه بزرگ‌ترین توان با ضریب ناصفر است.

در رسم، ریشه‌ها، عرض از مبدأ و رفتار دو سر نمودار راهنما هستند؛ وجود x در مخرج معمولاً عبارت را از چندجمله‌ای بودن خارج می‌کند.

اشتباه رایج√x یک چندجمله‌ای است.
اصلاح: توان۱/۲ صحیح نامنفی نیست.
تمرین مستقل: اگر f(x)=۲x+۱ و g(x)=x۲ باشد، مقدار (f∘g)(−۲) را بیاب.
پاسخ تشریحی: ابتدا g(−۲)=۴ و سپس f(۴)=۲×۴+۱=۹؛ پس (f∘g)(−۲)=۹.
یک بار بدون نگاه به پاسخ بازحل کن.۱۰ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابپایان مرور
راهنمای ریاضی رندو

فصل را فعالانه مرور کردی

مثال‌هایی را که بدون نگاه به پاسخ حل نکردی علامت بزن و در مرور بعدی فقط همان‌ها را دوباره حل کن.

۶ نکتهٔ منتخب · پایه دوازدهم

جزوه رایگان و نکات ناب رندو مکس

این صفحه برای جست‌وجوی «جزوه ریاضی دوازدهم فصل ۱»، «نکات ناب ریاضی» و مرور سریع کنکور و امتحان نهایی آماده شده است.