پایه یازدهم · فصل ۰۶
از جمله: حد یعنی نزدیک شدن · حد چپ و راست · جایگذاری مستقیم · رفع صفر بر صفر با تجزیه · مزدوج در حد
۶ نکتهٔ منتخبحد و پیوستگی
این جزوه همراهت است تا نکتههای پربازده فصل را مرور کنی. اول نکته را بخوان، مثال را خودت روی کاغذ حل کن و بعد پاسخ ایستگاه سنجش را ببین.
حد و پیوستگی را ببین
۱حد یعنی نزدیک شدن
حد f(x) هنگام نزدیک شدن x به a به مقدارهای اطراف a نگاه میکند، نه الزاماً f(a). اگر از هر دو طرف به یک عدد نزدیک شویم، حد دوسویه وجود دارد.
تغییر مقدار تابع فقط در یک نقطه، حد اطراف آن را تغییر نمیدهد.
۲حد چپ و راست
حد چپ فقط ورودیهای کمتر از نقطه و حد راست فقط بیشترها را بررسی میکند. برای وجود حد دوسویه، هر دو باید موجود و برابر باشند.
در تابع چندضابطهای باید برای هر سمت از ضابطۀ مناسب استفاده کرد.
۳جایگذاری مستقیم
چندجملهایها پیوستهاند و حدشان با جایگذاری به دست میآید. در خارجقسمت، اگر حد مخرج ناصفر باشد، میتوان نسبت حدها را گرفت.
اگر مخرج صفر شود، جایگذاری فقط هشدار است و باید رفتار اطراف بررسی شود.
۴رفع صفر بر صفر با تجزیه
اگر صورت و مخرج هر دو به صفر برسند، معمولاً یک عامل مشترک را میتوان برای xهای نزدیک و نامساوی نقطه حذف کرد. هدف، تغییر مقدار در خود نقطه نیست؛ فقط فرمول اطراف آن را ساده میکنیم.
پس حذف عامل در محاسبۀ حد با مجاز کردن نقطۀ ممنوع در دامنه فرق دارد.
۵مزدوج در حد
در تفاضل ریشهها، ضرب در مزدوج صورت و مخرج میتواند عبارت رادیکالی را به تفاضل زیررادیکالها تبدیل کند. سپس عامل صفرشونده حذف میشود.
دامنه و سمت نزدیک شدن را حفظ کن؛ حد باید از نقاطی بررسی شود که تابع آنجا تعریف دارد.
۶پیوستگی
پیوستگی در a یعنی f(a) تعریف شده، حد تابع در a موجود و این دو برابر باشند. در چندضابطهای، حد چپ و راست و مقدار سرحد را مقایسه کن.
در نقطۀ انتهایی دامنه، پیوستگی با نزدیک شدن از داخل دامنه سنجیده میشود.
پیوستگی راست در a یعنی حد راست با f(a) برابر باشد؛ پیوستگی چپ نیز همین برابری را از چپ میخواهد. در نقطهٔ داخلی بازه، برای پیوستگی باید هر دو برقرار باشند. روی [a,b]، در a تنها نزدیکشدن از راست و در b تنها از چپ را بررسی میکنیم؛ نقطههای داخلی همچنان دوطرفهاند.
کارگاه جمعبندی: حد یعنی نزدیک شدن
پیشنیاز: دامنۀ تابع، جایگذاری و سادهسازی عبارت جبری
حد f(x) هنگام نزدیک شدن x به a به مقدارهای اطراف a نگاه میکند، نه الزاماً f(a). اگر از هر دو طرف به یک عدد نزدیک شویم، حد دوسویه وجود دارد. تغییر مقدار تابع فقط در یک نقطه، حد اطراف آن را تغییر نمیدهد. این ملاک دوسویه برای نقطۀ داخلی دامنه است؛ در سر دامنه فقط حد از داخل دامنه سنجیده میشود، چنانکه √x روی [۰،+∞) در صفر از راست پیوسته است.
حل را قدمبهقدم ببین
- در f(x)=(x۲−۱)/(x−۱)، x=۱ در دامنه نیست.
- برای x≠۱ صورت (x−۱)(x+۱) است و مقدار f(x)=x+۱ میشود.
- ورودیهای ۰.۹ و ۱.۱ خروجیهای ۱.۹ و ۲.۱ دارند و با نزدیکترشدن به ۱ خروجیها به ۲ نزدیک میشوند.
- حد برابر ۲ است، چون به رفتار اطراف نقطه مربوط است
- تعریفنشدن خود نقطه مانع وجود حد نیست.
اگر از هر دو طرف به یک عدد نزدیک شویم، حد دوسویه وجود دارد.
تغییر مقدار تابع فقط در یک نقطه، حد اطراف آن را تغییر نمیدهد.
اصلاح: حد به اطراف نقطه وابسته است؛ ممکن است با وجود حفره، حد موجود باشد.
فصل را فعالانه مرور کردی
مثالهایی را که بدون نگاه به پاسخ حل نکردی علامت بزن و در مرور بعدی فقط همانها را دوباره حل کن.
۶ نکتهٔ منتخب · پایه یازدهم