$جلد تأییدشدهٔ نکات ناب ریاضی رندو مکس$

پایه یازدهم · فصل ۰۵

توابع نمایی و لگاریتمی

از جمله: تابع نمایی · مقایسۀ نمایی · لگاریتم یعنی توان مجهول · قانون‌های لگاریتم · نمودار و تغییر پایه

۶ نکتهٔ منتخب

رندو مکس · نکات نابپایه یازدهم · نقشه فصل

قبل از شروع

توابع نمایی و لگاریتمی

$راهنمای ریاضی رندو$

این جزوه همراهت است تا نکته‌های پربازده فصل را مرور کنی. اول نکته را بخوان، مثال را خودت روی کاغذ حل کن و بعد پاسخ ایستگاه سنجش را ببین.

۱. تابع نمایی

۲. مقایسۀ نمایی

۳. لگاریتم یعنی توان مجهول

۴. قانون‌های لگاریتم

۵. نمودار و تغییر پایه

۶. مدل رشد و کاهش

کارگاه تابع نمایی

رندو مکس · نکات نابپایه یازدهم · شکل‌خوانی

نقشهٔ تصویری فصل

توابع نمایی و لگاریتمی را ببین

نمودارهای y=2^x و y=log_2(x) نسبت به خط y=x قرینه‌اند. — نمودارهای y=۲^x و y=log_۲(x) نسبت به خط y=x قرینه‌اند.

رندو مکس · نکات نابتوابع نمایی و لگاریتمی

نکتهٔ ۱ از ۶

۱تابع نمایی

در f(x)=a^x، پایه مثبت و ناهمانند ۱ است. دامنه تمام حقیقی‌ها و برد اعداد مثبت است.

نمودار از (۰,۱) می‌گذرد و هرگز محور افقی را قطع نمی‌کند. اگر a>۱ باشد افزایشی و اگر ۰<a<۱ باشد کاهشی است.

a>۰; a≠۱; a^۰=۱

مثال حل‌شدهدر f(x)=(۱/۳)^x، f(−۲)=۹ و f(۲)=۱/۹ است. پایهٔ بین صفر و یک تابع نزولی می‌دهد؛ خروجی با وجود توان منفی همچنان مثبت است.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: برای پایۀ مثبت خروجی همیشه مثبت است؛ ممکن است به صفر نزدیک شود.

ایستگاه سنجشبرد ۳^x چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیق(۰،+∞).

رندو مکس · نکات نابتوابع نمایی و لگاریتمی

نکتهٔ ۲ از ۶

۲مقایسۀ نمایی

با پایه بزرگ‌تر از ۱، مقایسۀ توان‌ها جهت نابرابری را حفظ می‌کند. با پایه بین صفر و یک، تابع کاهشی است و جهت برعکس می‌شود.

اگر پایه‌ها مختلف‌اند، گاهی می‌توان آن‌ها را به یک پایۀ مشترک نوشت.

a>۱: a^u<a^v ⇔ u<v

مثال حل‌شدهنامعادلهٔ (۱/۲)^x<۱/۸ به (۱/۲)^x<(۱/۲)^۳ تبدیل می‌شود. چون پایه بین صفر و یک است، x>۳؛ جهت مقایسهٔ توان‌ها معکوس می‌شود.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: برای پایۀ بین صفر و یک، جهت برعکس می‌شود.

ایستگاه سنجش(۱/۲)^x>۱/۴ را حل کن.

پاسخ کوتاه و دقیقx<۲؛ پایه بین صفر و یک و تابع کاهشی است.

رندو مکس · نکات نابتوابع نمایی و لگاریتمی

نکتهٔ ۳ از ۶

۳لگاریتم یعنی توان مجهول

log_a(x)=y یعنی a^y=x. پایه باید مثبت و ناهمانند ۱ و ورودی x مثبت باشد.

دامنه لگاریتم مثبت‌ها و بردش تمام حقیقی‌هاست. چون a^۰=۱، لگاریتم ۱ در هر پایۀ مجاز صفر است.

log_a(x)=y ⇔ a^y=x

مثال حل‌شدهlog_۱/۲(۸)=−۳ چون (۱/۲)^−۳=۸. لگاریتم عدد مثبت می‌تواند منفی باشد؛ علامت جواب به پایه و جایگاه آرگومان نسبت به ۱ بستگی دارد.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: ورودی لگاریتم باید مثبت باشد.

ایستگاه سنجشlog_۳(۱) چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیقصفر؛ ۳^۰=۱.

رندو مکس · نکات نابتوابع نمایی و لگاریتمی

نکتهٔ ۴ از ۶

۴قانون‌های لگاریتم

برای ورودی‌های مثبت، لگاریتم حاصل‌ضرب برابر مجموع لگاریتم‌هاست و لگاریتم خارج‌قسمت برابر تفاضل آن‌ها. توان ورودی را می‌توان به ضریب بیرون آورد.

برای جمع داخل لگاریتم قانون مشابهی نداریم. شرط مثبت بودن هر ورودی اولیه را پیش از ترکیب نگه دار.

وقتی پایهٔ لگاریتم نوشته نمی‌شود، در این بخش منظور پایهٔ ۱۰ است. با دانستن چند مقدار تقریبی و قواعد ضرب و تقسیم می‌توان مقدارهای دیگر را ساخت؛ باید علامت تقریب را نگه داشت. اگر log_۱۰(۲)≈۰.۳۰۱ و log_۱۰(۳)≈۰.۴۷۷، آنگاه log_۱۰(۱۸)=log_۱۰(۲)+۲log_۱۰(۳)≈۱.۲۵۵. چون ۱۰<۱۸<۱۰۰، قرارگرفتن جواب بین ۱ و ۲ کنترل معناداری است.

log_a(uv)=log_a(u)+log_a(v) (u,v>۰)

مثال حل‌شدهlog_۳(۹)+log_۳(۲۷)=log_۳(۲۴۳)=۵؛ جمع آرگومان‌ها log_۳(۳۶) جواب دیگری می‌دهد. قانون جمع به ضرب دو آرگومان مثبت مربوط است.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: log_a(u+v) با log_a(u)+log_a(v) برابر نیست؛ برای u=v=۱، اولی log_a(۲) و دومی صفر است.

ایستگاه سنجشlog_۱۰(۱۰۰۰) چند است؟

پاسخ کوتاه و دقیق۳.

رندو مکس · نکات نابتوابع نمایی و لگاریتمی

نکتهٔ ۵ از ۶

۵نمودار و تغییر پایه

لگاریتم وارون نمایی است؛ نمودارهایشان نسبت به y=x قرینه‌اند. برای مقایسه یا محاسبۀ لگاریتم با پایه‌های متفاوت، تغییر پایه به یک پایۀ مشترک کمک می‌کند. در این فرمول a و c مثبت و نابرابر با ۱ و آرگومان b مثبت است؛ بنابراین مخرج log_c(a) ناصفر می‌ماند.

در تغییر پایه، log_۴(۸)=log_۲(۸)/log_۲(۴)=۳/۲. همچنین log_۲(۳)×log_۳(۸)=log_۲(۸)=۳؛ در هر چهار لگاریتم، پایه و آرگومان را جدا بخوان.

log_a(b)=log_c(b)/log_c(a) (a>۰, a≠۱, b>۰, c>۰, c≠۱)

مثال حل‌شدهlog_۹(۲۷)=log_۳(۲۷)/log_۳(۹)=۳/۲ است. جابه‌جایی صورت و مخرج، لگاریتم معکوس log_۲۷(۹)=۲/۳ را می‌دهد؛ این دو را با هم اشتباه نکن.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: پایۀ ۱ ممنوع است؛ نمایی ۱^x ثابت و یک‌به‌یک نیست.

ایستگاه سنجشنقطۀ ثابت مشترک همۀ نمودارهای y=log_a(x) چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیق(۱، ۰).

رندو مکس · نکات نابتوابع نمایی و لگاریتمی

نکتهٔ ۶ از ۶

۶مدل رشد و کاهش

در مدل P(t)=P_۰ a^t، زمان صفر مقدار اولیه است. برای رشد r درصدی هر دوره، a=۱+r/۱۰۰ و برای کاهش a=۱−r/۱۰۰ است.

اگر زمان مجهول باشد، لگاریتم توان را آشکار می‌کند. نتیجۀ مدل فقط تحت فرض نرخ ثابت معتبر است.

P(t)=P_۰ a^t

مثال حل‌شدهمقدار ۲۰۰ هر دوره ۲۰ درصد کم می‌شود؛ پس پس از دو دوره ۲۰۰×(۰.۸)^۲=۱۲۸ است، نه ۱۲۰. کاهش دوم روی مقدار ۱۶۰ اعمال می‌شود، نه مقدار آغازین.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: اگر مقداری ۱۰ درصد افزایش و سپس ۱۰ درصد کاهش یابد، ضریب کل ۱٫۱×۰٫۹=۰٫۹۹ است؛ پس مقدار نهایی یک درصد کمتر از مقدار آغازین می‌شود.

ایستگاه سنجشمقدار ۸۰ با نصف شدن در هر دوره، پس از ۲ دوره چقدر است؟

پاسخ کوتاه و دقیق۲۰.

رندو مکس · نکات نابتوابع نمایی و لگاریتمی

کارگاه پایه و انتقال یادگیری

کارگاه جمع‌بندی: تابع نمایی

پیش‌نیاز: قانون‌های توان و مقایسۀ عددهای مثبت

در f(x)=a^x، پایه مثبت و ناهمانند ۱ است. دامنه تمام حقیقی‌ها و برد اعداد مثبت است. نمودار از (۰,۱) می‌گذرد و هرگز محور افقی را قطع نمی‌کند. اگر a>۱ باشد افزایشی و اگر ۰<a<۱ باشد کاهشی است.

حل را قدم‌به‌قدم ببین

برای f(x)=۲^x، ورودی‌های −۱،۰،۱،۲ به‌ترتیب خروجی‌های ۱/۲،۱،۲،۴ می‌دهند.
با افزایش یک واحد ورودی، خروجی در ۲ ضرب می‌شود و تابع افزایش می‌یابد.
برای g(x)=(۱/۲)^x همین خروجی‌ها ۲،۱،۱/۲،۱/۴ هستند و کاهش می‌یابند.
هر دو تابع همیشه مثبت‌اند و در x=۰ از نقطهٔ (۰,۱) می‌گذرند.

دامنه تمام حقیقی‌ها و برد اعداد مثبت است.

اگر a>۱ باشد افزایشی و اگر ۰<a<۱ باشد کاهشی است.

اشتباه رایجتابع نمایی می‌تواند خروجی صفر بدهد.
اصلاح: برای پایۀ مثبت خروجی همیشه مثبت است؛ ممکن است به صفر نزدیک شود.

تمرین مستقل: معادلۀ ۲^x+۱=۱۶ را حل کن.

پاسخ تشریحی: چون ۱۶=۲^۴ است، توان‌ها برابرند: x+۱=۴؛ پس x=۳.

رندو مکس · نکات نابپایان مرور

$راهنمای ریاضی رندو$

فصل را فعالانه مرور کردی

مثال‌هایی را که بدون نگاه به پاسخ حل نکردی علامت بزن و در مرور بعدی فقط همان‌ها را دوباره حل کن.

۶ نکتهٔ منتخب · پایه یازدهم

پایه یازدهم · فصل ۰۵

توابع نمایی و لگاریتمی

توابع نمایی و لگاریتمی را ببین

۱تابع نمایی

۲مقایسۀ نمایی

۳لگاریتم یعنی توان مجهول

۴قانون‌های لگاریتم

۵نمودار و تغییر پایه

۶مدل رشد و کاهش

کارگاه جمع‌بندی: تابع نمایی

حل را قدم‌به‌قدم ببین

فصل را فعالانه مرور کردی

جزوه رایگان و نکات ناب رندو مکس