$جلد تأییدشدهٔ نکات ناب ریاضی رندو مکس$

پایه یازدهم · فصل ۰۴

مثلثات

رادیان · زاویه‌های وابسته · نمودار سینوس و کسینوس · حل رابطه با قید ناحیه

۴ نکتهٔ منتخب

رندو مکس · نکات نابپایه یازدهم · نقشه فصل

قبل از شروع

مثلثات

$راهنمای ریاضی رندو$

این جزوه همراهت است تا نکته‌های پربازده فصل را مرور کنی. اول نکته را بخوان، مثال را خودت روی کاغذ حل کن و بعد پاسخ ایستگاه سنجش را ببین.

۱. رادیان

۲. زاویه‌های وابسته

۳. نمودار سینوس و کسینوس

۴. حل رابطه با قید ناحیه

کارگاه رادیان

رندو مکس · نکات نابپایه یازدهم · شکل‌خوانی

نقشهٔ تصویری فصل

مثلثات را ببین

دایرۀ واحد؛ مختصات افقی کسینوس و مختصات عمودی سینوس است.

رندو مکس · نکات نابمثلثات

نکتهٔ ۱ از ۴

۱رادیان

در واحد رادیان، اندازه زاویه برابر طول کمان تقسیم بر شعاع است. یک دور کامل ۲π رادیان و ۱۸۰ درجه π رادیان است.

برای تبدیل درجه به رادیان در π/۱۸۰ ضرب می‌کنیم. در رابطۀ طول کمان، زاویه باید رادیانی باشد.

θ=s/r; ۱۸۰°=π rad

مثال حل‌شدهکمان به طول ۵ در دایرۀ شعاع ۱۰ زاویهٔ ۱/۲ رادیان می‌سازد، نه نیم درجه. تبدیل به درجه مقدار ۹۰/π درجه می‌دهد؛ نسبت طول کمان به شعاع بی‌واحد است.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: این فرمول با زاویۀ رادیانی درست است.

ایستگاه سنجش۹۰ درجه چند رادیان است؟

پاسخ کوتاه و دقیقπ/۲.

رندو مکس · نکات نابمثلثات

نکتهٔ ۲ از ۴

۲زاویه‌های وابسته

با بازتاب نقطه روی دایره، می‌توان نسبت زاویه‌های منفی یا مکمل را پیدا کرد. سینوس تابع فرد و کسینوس تابع زوج است.

زاویه‌های π−x سینوس برابر و کسینوس مخالف دارند. به جای حفظ فهرست طولانی، علامت مختصات نقطه را بررسی کن.

sin(−x)=−sin x; cos(−x)=cos x

مثال حل‌شدهcos(−۱۲۰°)=cos۱۲۰°=−۱/۲، اما sin(−۱۲۰°)=−√۳/۲. قرینۀ زاویه علامت کسینوس را عوض نمی‌کند، حتی وقتی خود کسینوس منفی است.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: سینوس فرد است؛ علامتش عوض می‌شود.

ایستگاه سنجشcos(−π/۳) چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیق۱/۲؛ کسینوس زوج است.

رندو مکس · نکات نابمثلثات

نکتهٔ ۳ از ۴

۳نمودار سینوس و کسینوس

سینوس و کسینوس روی تمام حقیقی‌ها تعریف شده‌اند و بردشان [−۱,۱] است. تناوب اصلی آن‌ها ۲π است.

برای y=A sin(bx)، دامنه نوسان |A| و تناوب اصلی ۲π/|b| است، اگر A و b ناصفر باشند. نقطه‌های صفر، قله و دره را برای رسم علامت بزن.

T=۲π/|b|برای سینوس و کسینوس ناثابت

مثال حل‌شدهبرای y=−۴sin(۲x)+۱، دامنهٔ نوسان ۴، خط میانی y=۱، برد [−۳,۵] و کوچک‌ترین دورهٔ مثبت π است. علامت منفی دامنهٔ نوسان را منفی نمی‌کند.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: در y=۳sin x، دامنۀ نوسان ۳ و فاصلۀ قله تا دره ۶ است؛ پس گفتن «دامنۀ نوسان ۶ است» نادرست است.

ایستگاه سنجشبرد y=۲cos x+۱ چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیق[−۱،۳]؛ برد کسینوس در ۲ ضرب و ۱ اضافه می‌شود.

رندو مکس · نکات نابمثلثات

نکتهٔ ۴ از ۴

۴حل رابطه با قید ناحیه

در مسئله‌های این بخش، ابتدا نسبت ناشناخته را از رابطۀ اصلی پیدا کن و علامتش را با توجه به ناحیه تعیین کن.

برای تانژانت و کوتانژانت، صفر نبودن مخرج را نیز بررسی کن؛ ساده‌سازی نباید نقطه ممنوع را مجاز کند.

اینجا حواست جمع باشد: معمولاً ناحیه یا محدودیت دیگری لازم است.

tan x=sin x/cos x (cos x≠۰)

مثال حل‌شدهاگر sinx=−۵/۱۳ و x در ناحیۀ سوم باشد، cosx=−۱۲/۱۳ و tanx=۵/۱۲ است. گرفتن فقط ریشۀ مثبت از ۱−sin^۲x، ناحیه را نقض می‌کند.

دام و کنترلگرفتن فقط ریشۀ مثبت از رابطۀ اصلی می‌تواند با ناحیۀ داده‌شده ناسازگار باشد.

ایستگاه سنجشدر ناحیۀ چهارم علامت sin۲x با فرض x داخل ناحیه چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیقمنفی؛ سینوس x منفی و کسینوس x مثبت است.

رندو مکس · نکات نابمثلثات

کارگاه پایه و انتقال یادگیری

کارگاه جمع‌بندی: رادیان

پیش‌نیاز: تناسب، محیط دایره و زاویۀ یک دور کامل

در واحد رادیان، اندازه زاویه برابر طول کمان تقسیم بر شعاع است. یک دور کامل ۲π رادیان و ۱۸۰ درجه π رادیان است. برای تبدیل درجه به رادیان در π/۱۸۰ ضرب می‌کنیم. در رابطۀ طول کمان، زاویه باید رادیانی باشد.

حل را قدم‌به‌قدم ببین

یک دور کامل ۳۶۰ درجه و ۲π رادیان است
پس هر درجه π/۱۸۰ رادیان است.
برای ۶۰ درجه، ۶۰×π/۱۸۰=π/۳ رادیان می‌گیریم.
کنترل برعکس: (π/۳)×۱۸۰/π=۶۰ درجه.
رادیان نسبت طول کمان به شعاع است
روی دایرهٔ شعاع ۳، همین زاویه کمانی به طول ۳×π/۳=π می‌سازد.

در رابطۀ طول کمان، زاویه باید رادیانی باشد.

اشتباه رایجبرای طول کمان s=rθ می‌توان θ را مستقیم به درجه گذاشت.
اصلاح: این فرمول با زاویۀ رادیانی درست است.

تمرین مستقل: زاویۀ ۷π/۶ در کدام ناحیه است و علامت سینوس و کسینوس آن چیست؟

پاسخ تشریحی: ۷π/۶ بین π و ۳π/۲ و در ناحیۀ سوم است؛ بنابراین سینوس و کسینوس هر دو منفی‌اند.

رندو مکس · نکات نابپایان مرور

$راهنمای ریاضی رندو$

فصل را فعالانه مرور کردی

مثال‌هایی را که بدون نگاه به پاسخ حل نکردی علامت بزن و در مرور بعدی فقط همان‌ها را دوباره حل کن.

۴ نکتهٔ منتخب · پایه یازدهم

پایه یازدهم · فصل ۰۴

مثلثات

مثلثات را ببین

۱رادیان

۲زاویه‌های وابسته

۳نمودار سینوس و کسینوس

۴حل رابطه با قید ناحیه

کارگاه جمع‌بندی: رادیان

حل را قدم‌به‌قدم ببین

فصل را فعالانه مرور کردی

جزوه رایگان و نکات ناب رندو مکس