$جلد تأییدشدهٔ نکات ناب ریاضی رندو مکس$

پایه یازدهم · فصل ۰۳

تابع

از جمله: انتقال نمودار · تابع جزءصحیح · تابع یک‌به‌یک · وارون تابع · جمع و ضرب توابع

۶ نکتهٔ منتخب

رندو مکس · نکات نابپایه یازدهم · نقشه فصل

قبل از شروع

تابع

$راهنمای ریاضی رندو$

این جزوه همراهت است تا نکته‌های پربازده فصل را مرور کنی. اول نکته را بخوان، مثال را خودت روی کاغذ حل کن و بعد پاسخ ایستگاه سنجش را ببین.

۱. انتقال نمودار

۲. تابع جزءصحیح

۳. تابع یک‌به‌یک

۴. وارون تابع

۵. جمع و ضرب توابع

۶. تقسیم توابع

کارگاه انتقال نمودار

رندو مکس · نکات نابپایه یازدهم · شکل‌خوانی

نقشهٔ تصویری فصل

تابع را ببین

چپ: دو شاخهٔ y=1/x با حذف x=0؛ راست: نمودار y=√x از مبدأ آغاز می‌شود و فقط ورودی‌های نامنفی دارد. — چپ: دو شاخهٔ y=۱/x با حذف x=۰؛ راست: نمودار y=√x از مبدأ آغاز می‌شود و فقط ورودی‌های نامنفی دارد.

رندو مکس · نکات نابتابع

نکتهٔ ۱ از ۶

۱انتقال نمودار

در f(x−h)+k، نمودار f به اندازۀ h به راست و k به بالا منتقل می‌شود. علامت داخل ورودی وارونه خوانده می‌شود؛ x+۲ یعنی حرکت دو واحد به چپ.

در −f(x)، خروجی‌ها قرینه می‌شوند و نمودار نسبت به محور افقی بازتاب می‌یابد.

تابع گویا نسبت دو چندجمله‌ای با مخرجِ ناصفر در ورودی موردنظر است. مدل پایهٔ y=۱/x دامنه و برد R∖{۰} دارد؛ برای ورودی مثبت خروجی مثبت و برای ورودی منفی خروجی منفی است. نقاط (۱,۱)،(۲,۱/۲)،(−۱,−۱)،(−۲,−۱/۲) دو شاخه را مشخص می‌کنند. محورهای مختصات جزو نمودار نیستند.

g(x)=f(x−h)+k

مثال حل‌شدهدر g(x)=|x+۴|−۲، رأس (−۴,−۲) است؛ +۴ داخل ورودی انتقال به چپ می‌دهد. با x=−۴ عبارت قدرمطلق صفر می‌شود و کمترین خروجی −۲ است.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: ورودی x+۲ یعنی انتقال دو واحد به چپ.

ایستگاه سنجشرأس y=|x+۴|−۱ چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیق(−۴،−۱).

رندو مکس · نکات نابتابع

نکتهٔ ۲ از ۶

۲تابع جزءصحیح

جزءصحیح x بزرگ‌ترین عدد صحیحی است که از x بیشتر نباشد. برای منفی‌ها مراقب باش: جزءصحیح −۱.۲ برابر −۲ است، نه −۱.

در هر بازۀ [n,n+۱)، مقدار ثابت n است و انتهای راست پله حذف می‌شود.

n≤x<n+۱ ⇒ [x]=n

مثال حل‌شدهجزءصحیح −۱.۲ برابر −۲ است چون −۲≤−۱.۲<−۱. قطع رقم اعشار، −۱ می‌دهد و برای عدد منفی با جزءصحیح برابر نیست.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: برای عدد منفی معمولاً درست نیست؛ باید به سمت پایین محور بروی.

ایستگاه سنجش[−۳٫۱] چند است؟

پاسخ کوتاه و دقیق−۴؛ بزرگ‌ترین صحیحی که از −۳٫۱ بیشتر نباشد.

رندو مکس · نکات نابتابع

نکتهٔ ۳ از ۶

۳تابع یک‌به‌یک

یک‌به‌یک یعنی دو ورودی متفاوت خروجی یکسان ندارند. در نمودار، خط افقی نباید بیش از یک برخورد داشته باشد.

تابع x^۲ روی کل حقیقی‌ها یک‌به‌یک نیست، اما روی [۰,+∞) هست. پس دامنه در بررسی یک‌به‌یکی نقش اصلی دارد.

f(a)=f(b) ⇒ a=b

مثال حل‌شدهتابع |x| روی R یک‌به‌یک نیست چون f(−۲)=f(۲)=۲؛ روی (−∞,۰] برابر −x و یک‌به‌یک است. حکم یک‌به‌یکی بدون تعیین دامنه کامل نیست.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: آزمون عمودی فقط تابع بودن را نشان می‌دهد؛ یک‌به‌یکی با خط افقی بررسی می‌شود.

ایستگاه سنجشآیا |x| روی R یک‌به‌یک است؟

پاسخ کوتاه و دقیقخیر؛ ورودی‌های ۲ و −۲ خروجی ۲ دارند.

رندو مکس · نکات نابتابع

نکتهٔ ۴ از ۶

۴وارون تابع

برای تابع یک‌به‌یک، وارون خروجی را به ورودی متناظر برمی‌گرداند. در معادلۀ y=f(x)، x را برحسب y حل و سپس نام متغیر را عوض کن.

دامنۀ وارون، برد تابع اصلی است. نماد f^−۱ با معکوس عددی ۱/f فرق دارد.

دامنۀ وارون=برد f

مثال حل‌شدهبرای f(x)=۵−۲x روی R، از y=۵−۲x می‌گیریم x=(۵−y)/۲؛ پس f^−۱(x)=(۵−x)/۲. وارون با ۱/(۵−۲x) فرق دارد؛ ترکیب f(f^−۱(x))=x است.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: وارون جابه‌جایی ورودی و خروجی است؛ ۱/f معکوس مقدار خروجی است.

ایستگاه سنجشوارون f(x)=x−۵ چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیقf^−۱(x)=x+۵.

رندو مکس · نکات نابتابع

نکتهٔ ۵ از ۶

۵جمع و ضرب توابع

دامنۀ جمع، تفاضل و ضرب دو تابع، اشتراک دامنه‌های آن‌هاست. پس حتی اگر فرمول حاصل ساده شود، شرط‌های اصلی را نگه دار.

برای هر ورودی مجاز، خروجی‌ها را با عمل خواسته‌شده ترکیب می‌کنیم.

در g(x)=kf(x)، ورودی عوض نمی‌شود و خروجی هر نقطه در k ضرب می‌شود؛ (a,b) به (a,kb) می‌رود. برای k<۰ علاوه بر تغییر اندازه، قرینه‌شدن نسبت به محور افقی داریم. در k=۰ نیز دامنهٔ تابع اصلی حفظ می‌شود؛ صفرشدن ضابطه، ورودی ممنوع را مجاز نمی‌کند.

D_f+g=D_f∩D_g

مثال حل‌شدهاگر f(x)=√(x+۲) و g(x)=√(۵−x)، دامنۀ جمع و ضرب هر دو [−۲,۵] است. حتی اگر حاصل‌ضرب در یک سر صفر شود، باید هر دو عامل در همان ورودی تعریف داشته باشند.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: ورودی باید برای هر دو تابع مجاز باشد؛ اشتراک می‌گیریم.

ایستگاه سنجشبرای f(x)=x+۱ و g(x)=۲x، مقدار (fg)(۲) چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیقf(۲)g(۲)=۳×۴=۱۲.

رندو مکس · نکات نابتابع

نکتهٔ ۶ از ۶

۶تقسیم توابع

در f/g علاوه بر اشتراک دامنه‌ها باید g(x)≠۰ باشد. خطای رایج این است که فقط مخرج فرمول نهایی را بررسی کنیم و ممنوعیت‌های تابع‌های اصلی را فراموش کنیم.

بعد از ساده‌سازی، دامنه را کنار فرمول نگه دار.

D_f/g={x∈D_f∩D_g | g(x)≠۰}

مثال حل‌شدهبرای (x^۲−۹)/(x−۳)، عبارت در x≠۳ برابر x+۳ است. نمودار یک خط با حفره در (۳,۶) است؛ ساده‌شدن فرمول، ورودی ممنوع را برنمی‌گرداند.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: برای تابع حاصل از تقسیم، دامنه از تعریف اولیه به ارث می‌رسد.

ایستگاه سنجشدامنۀ x/(x^۲−۴) چیست؟

پاسخ کوتاه و دقیقR به‌جز ۲ و −۲.

رندو مکس · نکات نابتابع

کارگاه پایه و انتقال یادگیری

کارگاه جمع‌بندی: انتقال نمودار

پیش‌نیاز: نمودار مادر، مختصات نقطه و اثر تغییر ورودی و خروجی

در f(x−h)+k، نمودار f به اندازۀ h به راست و k به بالا منتقل می‌شود. علامت داخل ورودی وارونه خوانده می‌شود؛ x+۲ یعنی حرکت دو واحد به چپ. در −f(x)، خروجی‌ها قرینه می‌شوند و نمودار نسبت به محور افقی بازتاب می‌یابد.

حل را قدم‌به‌قدم ببین

تابع y=|x| رأس (۰,۰) دارد.
در y=|x−۲|+۳، صفر شدن داخل قدرمطلق در x=۲ رخ می‌دهد و خروجی آنجا ۳ است
رأس (۲,۳) می‌شود.
برای x=۱ و x=۳ در هر دو حالت خروجی ۴ است، پس دو شاخه نسبت به x=۲ متقارن‌اند.
علامت منفیِ داخل، انتقال دو واحد به راست را می‌سازد.

علامت داخل ورودی وارونه خوانده می‌شود؛ x+۲ یعنی حرکت دو واحد به چپ.

اشتباه رایجf(x+۲) انتقال دو واحد به راست است.
اصلاح: ورودی x+۲ یعنی انتقال دو واحد به چپ.

تمرین مستقل: اگر f(x)=x^۲ با دامنه x≥۰ باشد، f⁻¹(۹) را بیاب.

پاسخ تشریحی: روی دامنه x≥۰ تابع یک‌به‌یک است و وارون آن √x است؛ پس f⁻¹(۹)=۳.

رندو مکس · نکات نابپایان مرور

$راهنمای ریاضی رندو$

فصل را فعالانه مرور کردی

مثال‌هایی را که بدون نگاه به پاسخ حل نکردی علامت بزن و در مرور بعدی فقط همان‌ها را دوباره حل کن.

۶ نکتهٔ منتخب · پایه یازدهم

پایه یازدهم · فصل ۰۳

تابع

تابع را ببین

۱انتقال نمودار

۲تابع جزءصحیح

۳تابع یک‌به‌یک

۴وارون تابع

۵جمع و ضرب توابع

۶تقسیم توابع

کارگاه جمع‌بندی: انتقال نمودار

حل را قدم‌به‌قدم ببین

فصل را فعالانه مرور کردی

جزوه رایگان و نکات ناب رندو مکس