پایه یازدهم · فصل ۰۲
از جمله: عمودمنصف و ترسیم · نیمساز و فاصله از ضلعها · استدلال و عکس قضیه · تالس · تشابه مثلثها
۶ نکتهٔ منتخبهندسه
این جزوه همراهت است تا نکتههای پربازده فصل را مرور کنی. اول نکته را بخوان، مثال را خودت روی کاغذ حل کن و بعد پاسخ ایستگاه سنجش را ببین.
هندسه را ببین
۱عمودمنصف و ترسیم
مکان هندسی نقطههای همفاصله از دو نقطۀ ثابت، عمودمنصف پارهخط آنهاست. با دو کمان همشعاع از دو سر، دو نقطۀ همفاصله میسازیم و خط گذرنده از آنها را رسم میکنیم.
شعاع باید بزرگتر از نصف طول پارهخط باشد تا دو برخورد داشته باشیم.
۲نیمساز و فاصله از ضلعها
هر نقطه روی نیمساز داخلی زاویه از دو ضلع آن فاصله برابر دارد. فاصله یعنی طول عمود، نه پارهخط دلخواه تا ضلع.
برای ترسیم نیمساز، ابتدا روی دو ضلع نقطههای همفاصله از رأس میگیریم و سپس با کمانهای همشعاع نقطۀ مناسب میسازیم.
برای رسم عمود از نقطهٔ P بیرون خط d، دایرهای به مرکز P با شعاعی بزرگتر از فاصلهٔ P تا خط رسم کن تا خط را در A و B قطع کند. چون PA=PB، نقطهٔ P روی عمودمنصف AB است؛ رسم عمودمنصف، عمود مطلوب را میدهد. اگر P روی خط باشد، A و B را در دو سوی P با PA=PB برگزین. برای موازیکشیدن از نقطهٔ بیرون خط، ابتدا عمود و سپس از همان نقطه عمود بر عمود را رسم کن؛ دو خطِ عمود بر یک خط در صفحه موازیاند.
۳استدلال و عکس قضیه
در قضیه، فرض چیزی است که داده شده و حکم چیزی است که باید ثابت شود. عکس قضیه با جابهجایی فرض وحکم ساخته میشود اما لزوماً درست نیست.
برای رد یک ادعای همگانی مثال نقض کافی است؛ برای اثبات، باید استدلالی مستقل از شکل خاص ارائه کنیم.
در عکس تالس، با همان ترتیب نقاط روی ضلعهای مثلث، از تناسبِ پارهخطها موازی بودن خط رابط نتیجه میشود. در مثلث ABC اگر D و E بهترتیب روی AB و AC باشند و AD/DB=AE/EC، آنگاه DE∥BC. مثال: AD=۳، DB=۲، AE=۶، EC=۴؛ دو نسبت ۳/۲ و ۶/۴ برابرند و موازی بودن نتیجه میشود. نوشتن نسبتهای غیرمتناظر این نتیجه را نمیدهد.
۴تالس
در مثلث ABC، اگر D روی AB و E روی AC و DE موازی BC باشد، طولهای متناظر نسبتهای برابر دارند. مهم است نسبتها را با ترتیب متناظر بنویسی؛ نسبت قسمت بالا به کل را با قسمت بالا به پایین مخلوط نکن.
عکس تالس نیز در همین وضعیت، از نسبتهای مناسب موازی بودن را نتیجه میدهد.
۵تشابه مثلثها
در تشابه، زاویههای متناظر برابر و ضلعهای متناظر متناسباند. دو زاویۀ برابر برای تشابه کافی است؛ سه نسبت ضلع برابر یا نسبت دو ضلع و زاویۀ بین مساوی نیز حالتهای دیگرند.
ترتیب نامگذاری رأسها را با تناظر زاویهها تنظیم کن.
۶نسبت طول و مساحت
در مثلثهای مشابه، محیطها و ارتفاعهای متناظر با ضریب k تغییر میکنند، اما مساحتها با k۲. مساحت از ضرب دو طول ساخته میشود و هر دو طول تغییر میکنند.
در مسائل مساحت، اگر نسبت طول داده شده ابتدا آن را مربع کن؛ برای برگشت از مساحت به طول ریشه مثبت بگیر.
کارگاه جمعبندی: عمودمنصف و ترسیم
پیشنیاز: نقطۀ میانی، عمود بودن و فاصلۀ دو نقطه
مکان هندسی نقطههای همفاصله از دو نقطۀ ثابت، عمودمنصف پارهخط آنهاست. با دو کمان همشعاع از دو سر، دو نقطۀ همفاصله میسازیم و خط گذرنده از آنها را رسم میکنیم. شعاع باید بزرگتر از نصف طول پارهخط باشد تا دو برخورد داشته باشیم.
حل را قدمبهقدم ببین
- A=(−۲,۰) و B=(۲,۰) را روی محور افقی بگذار.
- نقطهٔ میانی (۰,۰) است و خط عمود بر AB در آن نقطه، محور عمودی x=۰ است.
- هر P=(۰,t) روی این خط، فاصلههای PA=√(۴+t۲) و PB=√(۴+t۲) دارد.
- پس هم شرط عمود و نیمکردن برقرار است و هم ویژگی فاصلهٔ برابر که ترسیم عمودمنصف را توجیه میکند.
شعاع باید بزرگتر از نصف طول پارهخط باشد تا دو برخورد داشته باشیم.
اصلاح: علاوه بر عبور از وسط، باید عمود بر پارهخط باشد.
فصل را فعالانه مرور کردی
مثالهایی را که بدون نگاه به پاسخ حل نکردی علامت بزن و در مرور بعدی فقط همانها را دوباره حل کن.
۶ نکتهٔ منتخب · پایه یازدهم