۱فاصله و نقطۀ میانی

فاصلۀ مستقیم دو نقطه وتر مثلثی است که ساق‌هایش اختلاف مختصات‌اند؛ به همین دلیل از فیثاغورس استفاده می‌کنیم. نقطۀ میانی با میانگین گرفتن جداگانۀ مختصات به دست می‌آید.

فاصله یک عدد نامنفی است ولی مختصات نقطۀ میانی می‌توانند منفی باشند.

۲شیب و معادلۀ خط

شیب خط غیرعمودی نسبت تغییر عمودی به افقی است. با یک نقطه و شیب، معادله y−y_۰=m(x−x_۰) نوشته می‌شود. خط عمودی x=c است و شیب عددی ندارد؛ خط افقی شیب صفر دارد. برای خط‌های موازی غیرعمودی، شیب‌ها برابرند.

عمود بودن خط‌ها: اگر هر دو خط شیب متناهی داشته باشند، شرط عمود بودن m_۱×m_۲=−۱ است؛ بنابراین شیب خط عمود بر خطی با شیب ناصفر m برابر −۱/m است. قرینهٔ شیب، یعنی −m، عموماً کافی نیست. خط افقی و خط قائم نیز بر هم عمودند، اما چون خط قائم شیب عددی ندارد، برای این زوج از حاصل‌ضرب شیب‌ها استفاده نمی‌کنیم.

مثال حل‌شده: خطی از P(۲,۱) بگذرد و بر y=۲x+۳ عمود باشد. شیب خط داده‌شده ۲ است، پس شیب خط مطلوب −۱/۲ است. در فرم نقطه–شیب می‌نویسیم y−۱=(−۱/۲)(x−۲). با ضرب در ۲: ۲y−۲=−x+۲؛ بنابراین x+۲y−۴=۰. کنترل نقطه: ۲+۲×۱−۴=۰. کنترل زاویه: ۲×(−۱/۲)=−۱.

۳فاصلۀ نقطه از خط

فاصلۀ نقطه از خط طول پاره‌خط عمود است. در فرمول Ax+By+C=۰، مقدار عبارت خط را در نقطه قرار می‌دهیم، قدرمطلق می‌گیریم و بر √(A^۲+B^۲) تقسیم می‌کنیم.

ضرایب A و B هم‌زمان صفر نیستند. ضریب مشترک در معادلۀ خط نباید فاصله را تغییر دهد.

۴مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها

اگر α و β ریشه‌های ax^۲+bx+c=۰ باشند، با بازکردن a(x−α)(x−β)، مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها مشخص می‌شود. ابتدا وجود ریشه‌های حقیقی را در سؤال‌های حقیقی بررسی کن.

با این دو مقدار می‌توان عبارت‌هایی مثل مجموع مربع‌ها را حساب کرد.

گاهی معادلهٔ ظاهراً درجهٔ چهارم فقط x^۲ و x^۴ دارد. با t=x^۲ به یک معادلهٔ درجهٔ دوم می‌رسیم، اما t≥۰ شرط تازهٔ ضروری است. مثال: x^۴−۵x^۲+۴=۰ به t^۲−۵t+۴=(t−۱)(t−۴)=۰ تبدیل می‌شود. هر دو مقدار ۱ و ۴ نامنفی‌اند؛ بازگشت به x، چهار جواب ±۱ و ±۲ می‌دهد. خودِ t پاسخ نهایی متغیر x نیست.

۵معادلۀ گویا

برای معادله شامل کسرهای جبری، مخرج‌ها نباید صفر شوند. پس از ثبت دامنه، می‌توان در مخرج مشترک ضرب و معادلۀ ساده‌تر را حل کرد.

جواب‌های به‌دست‌آمده را با ممنوعیت‌های اولیه تطبیق بده. عاملی که در صورت و مخرج ساده می‌شود، ممنوعیت اولیه را پاک نمی‌کند.

۶معادلۀ رادیکالی

در √g(x)=h(x)، علاوه بر g(x)≥۰ باید h(x)≥۰ باشد، چون ریشۀ اصلی نامنفی است. با مربع کردن به g(x)=h^۲(x) می‌رسیم، اما باید جواب‌ها در معادلۀ اولیه کنترل شوند. این کنترل بخشی از حل است، نه کار اضافی.

پیش از مربع کردن، روش را انتخاب کن. نخست شرط وجود همهٔ ریشه‌های زوج و ناصفر بودن همهٔ مخرج‌ها را هم‌زمان بنویس. اگر اشتراک شرط‌ها تهی باشد، معادله جواب ندارد؛ اگر یک طرف نامنفی و طرف دیگر منفی باشد نیز محاسبه لازم نیست. مجموع دو ریشهٔ دوم فقط وقتی صفر می‌شود که هر دو جداگانه صفر شوند؛ یکی نمی‌تواند دیگری را با علامت منفی خنثی کند.

مثال تشخیص سریع: در √(x−۴)+√(۴−x)=۰، دو شرط x≥۴ و x≤۴ فقط x=۴ را باقی می‌گذارند و جایگذاری نیز ۰+۰=۰ می‌دهد. اما √(x−۴)+√(۲−x)=۰ هیچ جواب حقیقی ندارد، چون باید هم‌زمان x≥۴ و x≤۲ باشد. در هیچ‌کدام نیازی به مربع کردن نبود.