پایه دهم · فصل ۰۶
از جمله: اصل جمع · اصل ضرب · صفر در رقم اول · جایگشت · ترکیب
۶ نکتهٔ منتخبشمارش، بدون شمردن
این جزوه همراهت است تا نکتههای پربازده فصل را مرور کنی. اول نکته را بخوان، مثال را خودت روی کاغذ حل کن و بعد پاسخ ایستگاه سنجش را ببین.
شمارش، بدون شمردن را ببین
۱اصل جمع
وقتی یک انتخاب از چند دستۀ بدون اشتراک انجام میشود، تعداد حالتها را جمع میکنیم. شرط جدا بودن مهم است؛ اگر یک حالت در دو دسته باشد، جمع ساده آن را دوبار میشمارد.
عبارت «یا» در مسئله باید از روی عمل واقعی تفسیر شود.
۲اصل ضرب
اگر مرحلۀ اول m انتخاب داشته باشد و برای هر انتخاب آن، مرحلۀ دوم n انتخاب، تعداد زوجهای ممکن mn است. اگر تعداد انتخاب مرحلۀ دوم به حالت اول وابسته باشد، میتوان حالتبندی کرد و جمع زد.
اصل ضرب به ترتیب تصمیمها مربوط است، نه صرفاً دیدن کلمۀ «و».
اینجا حواست جمع باشد: برای چیدن اشیای متمایز از یک مجموعهٔ ثابت، تعداد انتخابها کم میشود؛ مثلاً از ۴ شیء، جایگاه اول ۴ و دوم ۳ انتخاب دارد.
۳صفر در رقم اول
در شمارش عددهای چندرقمی، رقم اول نباید صفر باشد. جایگاه محدودتر را زودتر انتخاب کن و سپس باقی جایگاهها را بشمار. اگر یکان باید زوج باشد، گاهی جدا کردن حالت یکان صفر از دیگر رقمهای زوج روش روشنتری است.
حالتبندی یکان صفر: برای ساخت عدد سهرقمی زوج با رقمهای متمایز، انتخاب یکان بر تعداد انتخاب صدگان اثر میگذارد. اگر یکان صفر باشد، دیگر صفر در میان رقمهای باقیمانده نیست؛ اگر یکان زوجِ ناصفر باشد، صفر هنوز باقی است ولی برای صدگان مجاز نیست. پس یک حاصلضرب مشترک برای هر دو حالت نمینویسیم.
مثال حلشده: با رقمهای ۰، ۱، ۲، ۳ و ۴ چند عدد سهرقمی زوجِ بدون تکرار میسازیم؟ یکان صفر: صدگان ۴ انتخاب و دهگان ۳ انتخاب دارد؛ ۱×۴×۳=۱۲ عدد. یکان ۲ یا ۴: یکان ۲ انتخاب دارد؛ پس از آن صدگان از سه رقم ناصفرِ باقیمانده و دهگان از سه رقم باقیمانده انتخاب میشود؛ ۲×۳×۳=۱۸ عدد. دو حالت ناسازگارند و تمام عددهای زوج را پوشش میدهند؛ پاسخ ۱۲+۱۸=۳۰ است.
۴جایگشت
چیدن n شیء متمایز در یک ردیف n! حالت دارد. اگر فقط r جایگاه را با n شیء پر کنیم، حاصل n(n−۱)…(n−r+۱) است.
متمایز بودن اشیا و اهمیت ترتیب را قبل از استفاده از فرمول بررسی کن.
۵ترکیب
برای انتخاب r عضو از n عضو متمایز بدون توجه به ترتیب، از ترکیب استفاده میکنیم. شمارش ترتیبی هر گروه را r! بار تکرار میکند؛ تقسیم بر این مقدار تکرار را حذف میکند.
انتخاب r عضو با کنارگذاشتن n−r عضو متناظر است.
۶شمارش متمم
برای «حداقل یکی»، میتوان از تمام انتخابها حالت «هیچکدام» را کم کرد. ابتدا مطمئن شو فضای کل و حالت حذفشده دقیقاً با شرطهای مسئله یکساناند.
اگر چند حالت نامطلوب همپوشانی دارند، حذف ساده ممکن است دوبارهشماری ایجاد کند.
کارگاه جمعبندی: اصل جمع
پیشنیاز: ضرب و جمع اعداد طبیعی و حالتبندی ساده
وقتی یک انتخاب از چند دستۀ بدون اشتراک انجام میشود، تعداد حالتها را جمع میکنیم. شرط جدا بودن مهم است؛ اگر یک حالت در دو دسته باشد، جمع ساده آن را دوبار میشمارد. عبارت «یا» در مسئله باید از روی عمل واقعی تفسیر شود.
حل را قدمبهقدم ببین
- چهار رمان و سه کتاب علمی داریم و هیچ کتابی در هر دو دسته نیست.
- قرار است فقط یک کتاب انتخاب شود
- انتخابهای ممکن همان چهار عنوان رمان و سه عنوان علمیاند، پس ۴+۳=۷ حالت.
- اگر دو دسته عنوان مشترک داشتند، آن عنوان در جمع دوبار شمرده میشد و باید یک بار حذف میشد.
شرط جدا بودن مهم است؛ اگر یک حالت در دو دسته باشد، جمع ساده آن را دوبار میشمارد.
عبارت «یا» در مسئله باید از روی عمل واقعی تفسیر شود.
اصلاح: اگر دستهها همپوشانی داشته باشند باید تکراریها را کم کرد.
فصل را فعالانه مرور کردی
مثالهایی را که بدون نگاه به پاسخ حل نکردی علامت بزن و در مرور بعدی فقط همانها را دوباره حل کن.
۶ نکتهٔ منتخب · پایه دهم