۱تابع یعنی خروجی یکتا

تابع به هر عضو دامنه دقیقاً یک خروجی نسبت می‌دهد. دو ورودی متفاوت می‌توانند خروجی برابر داشته باشند؛ مشکل زمانی است که یک ورودی دو خروجی متفاوت بگیرد.

در نمودار، خط عمودی اگر بیش از یک برخورد داشته باشد، آن رابطه تابع x نیست.

تابع را می‌توان با جدول، زوج مرتب، پیکان، نمودار یا ضابطه نشان داد. در همهٔ نمایش‌ها هر ورودیِ دامنه باید دقیقاً یک خروجی داشته باشد. برد مجموعهٔ خروجی‌های واقعاً تولیدشده است و ممکن است از مجموعهٔ مقصد کوچک‌تر باشد. برای برابری دو تابع، یکسان بودن دامنه و برابر بودن خروجی در هر ورودی لازم است؛ شباهت ضابطه به‌تنهایی کافی نیست.

۲دامنه از روی فرمول

در کسر، مخرج نباید صفر باشد. در ریشۀ زوج، زیر رادیکال باید نامنفی باشد.

اگر چند شرط داریم، همه باید هم‌زمان برقرار باشند؛ یعنی اشتراک شرط‌ها را می‌گیریم. دامنه داده‌شده در صورت سؤال می‌تواند از دامنۀ طبیعی فرمول کوچک‌تر باشد.

۳برد و تصویر

برد مجموعه خروجی‌های حاصل از ورودی‌های مجاز است. برای مربع، خروجی منفی نداریم؛ برای تابع خطی با شیب ناصفر روی کل حقیقی‌ها، هر خروجی حقیقی حاصل می‌شود.

محدود کردن دامنه می‌تواند برد را عوض کند؛ بنابراین برد را همیشه همراه دامنه بخوان.

۴مقدار تابع و جایگذاری

f(a) یعنی در فرمول f به‌جای متغیر، a را قرار بدهیم. وقتی ورودی منفی یا عبارتی است، پرانتز از خطای علامت جلوگیری می‌کند.

f(x+h) با f(x)+h یکی نیست؛ در اولی ورودی تغییر کرده و در دومی خروجی افزایش یافته است.

۵توابع چندضابطه‌ای

در تابع چندضابطه‌ای، اول بازۀ ورودی را تعیین و سپس فقط ضابطۀ همان بازه را استفاده کن. سرحدها مهم‌اند: ≤ سرحد را شامل می‌کند و < شامل نمی‌کند.

اگر دو ضابطه در یک ورودی فعال باشند، خروجی آن‌ها باید برابر باشد تا تابع به‌درستی تعریف شود.

۶همانی، ثابت و قدر مطلق

تابع همانی f(x)=x است و ثابت f(x)=c خروجی یکسان دارد. قدر مطلق فاصله تا صفر را نشان می‌دهد؛ برای ورودی منفی علامت را عوض می‌کند و برای ورودی نامنفی همان عدد را می‌دهد.

دو تابع فقط وقتی برابرند که دامنه و مقدارشان در تمام اعضای دامنه برابر باشد.

در g(x)=f(x)+k خروجی همهٔ نقطه‌ها k واحد عوض می‌شود: (a,b) به (a,b+k) می‌رود. در h(x)=f(x−c)، برای تولید خروجی قدیمی b باید x−c=a و x=a+c باشد؛ پس نقطه به (a+c,b) می‌رود. این استدلال توضیح می‌دهد چرا x−۳ نمودار را ۳ واحد به راست می‌برد. دامنه هم در انتقال افقی جابه‌جا می‌شود.