جلد تأییدشدهٔ نکات ناب ریاضی رندو مکس

پایه دهم · فصل ۰۴

معادله‌ها و نامعادله‌ها

از جمله: صفر شدن حاصل‌ضرب · مربع کامل و دلتا · سهمی و رأس · علامت عبارت درجه دوم · نامعادله کسری

۶ نکتهٔ منتخب
رندو مکس · نکات نابپایه دهم · نقشه فصل
قبل از شروع

معادله‌ها و نامعادله‌ها

راهنمای ریاضی رندو

این جزوه همراهت است تا نکته‌های پربازده فصل را مرور کنی. اول نکته را بخوان، مثال را خودت روی کاغذ حل کن و بعد پاسخ ایستگاه سنجش را ببین.

۱. صفر شدن حاصل‌ضرب
۲. مربع کامل و دلتا
۳. سهمی و رأس
۴. علامت عبارت درجه دوم
۵. نامعادله کسری
۶. قدر مطلق و فاصله
کارگاه صفر شدن حاصل‌ضرب
مسیر مرور فصل۲ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابپایه دهم · شکل‌خوانی
نقشهٔ تصویری فصل

معادله‌ها و نامعادله‌ها را ببین

جدول علامت (x+1)(x−2): بیرون ریشه‌ها مثبت و میان آن‌ها منفی است.
جدول علامت (x+۱)(x−۲): بیرون ریشه‌ها مثبت و میان آن‌ها منفی است.
شکل را به زبان خودت توضیح بده.۳ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابمعادله‌ها و نامعادله‌ها
نکتهٔ ۱ از ۶

۱صفر شدن حاصل‌ضرب

برای معادلۀ درجه دوم ابتدا همه جمله‌ها را به یک طرف بیاور. اگر بتوانی تجزیه کنی، هر عامل را جدا صفر قرار بده.

قاعدۀ حاصل‌ضرب صفر فقط وقتی سمت دیگر صفر باشد قابل استفاده است. تقسیم بر یک عبارتِ دارای x ممکن است بعضی جواب‌ها را حذف کند.

AB=۰⇒A=۰یاB=۰
مثال حل‌شدهاز (x−۴)(x+۱)=۰ دو حالت x=۴ یا x=−۱ داریم؛ هر دو را در معادلۀ اولیه می‌آزماییم.
دام و کنترلدر معادلۀ جداگانۀ x۲−۴x=۰، صفر هم جواب است؛ اگر دو طرف را بر x تقسیم کنی، این جواب را حذف می‌کنی.
ایستگاه سنجشx۲−۴x=۰ را حل کن.
پاسخ کوتاه و دقیقx(x−۴)=۰؛ جواب‌ها ۰ و ۴ هستند.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۴ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابمعادله‌ها و نامعادله‌ها
نکتهٔ ۲ از ۶

۲مربع کامل و دلتا

با کامل کردن مربع می‌توان معادلۀ درجه دوم را به یک مربع و ثابت تبدیل کرد. فرمول دلتا همین روش را برای حالت عمومی خلاصه می‌کند.

ضریب a باید ناصفر باشد. دلتا مثبت دو ریشۀ حقیقی متمایز، صفر یک ریشۀ مضاعف و منفی هیچ ریشۀ حقیقی می‌دهد.

Δ=b۲−۴ac; x=(−b±√Δ)/(۲a)
مثال حل‌شدهدر x۲+۴x+۴=۰، دلتا صفر و ریشۀ مضاعف −۲ است؛ صفر بودن دلتا به معنی نبود ریشه نیست.
دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: دلتا صفر یعنی یک ریشۀ مضاعف دارد.
ایستگاه سنجشمعادلۀ x۲+۲x+۱=۰ چند ریشۀ حقیقی متمایز دارد؟
پاسخ کوتاه و دقیقیکی؛ برابر (x+۱)۲=۰ و ریشه −۱ است.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۵ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابمعادله‌ها و نامعادله‌ها
نکتهٔ ۳ از ۶

۳سهمی و رأس

در y=a(x−h)۲+k، رأس (h,k) و محور تقارن x=h است. برای a مثبت سهمی رو به بالا و برای a منفی رو به پایین است.

ریشه‌ها محل برخورد نمودار با محور افقی‌اند؛ مقدار تابع در صفر، برخورد با محور عمودی را می‌دهد.

xv=−b/(۲a); yv=f(xv)
مثال حل‌شدهتابع x۲−۴x+۷=(x−۲)۲+۳ کمینه ۳ در x=۲ دارد؛ مقدار کمینه و محل آن دو عدد متفاوت‌اند.
دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: رأس (h,k) است؛ علامت داخل پرانتز برعکس مختصات نوشته می‌شود.
ایستگاه سنجشرأس y=(x+۱)۲+۴ کجاست؟
پاسخ کوتاه و دقیق(−۱،۴)؛ چون x+۱=x−(−۱) است.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۶ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابمعادله‌ها و نامعادله‌ها
نکتهٔ ۴ از ۶

۴علامت عبارت درجه دوم

اگر دو ریشۀ حقیقی متمایز r و s وجود داشته باشد، علامت ax۲+bx+c در بیرون بازۀ بین ریشه‌ها هم‌علامت a و داخل آن مخالف a است. در خود ریشه‌ها مقدار صفر است.

ریشۀ مضاعف علامت را عوض نمی‌کند؛ چون عامل مربع در دو سوی ریشه نامنفی است.

a(x−r)(x−s)
مثال حل‌شدهعبارت (x−۱)۲ در دو سوی ۱ مثبت است؛ ریشۀ زوج موجب تغییر علامت نمی‌شود.
دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: ریشۀ با توان زوج علامت را عوض نمی‌کند.
ایستگاه سنجش(x−۲)(x+۱)<۰ را حل کن.
پاسخ کوتاه و دقیقبین ریشه‌های −۱ و ۲: بازۀ (−۱،۲).
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۷ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابمعادله‌ها و نامعادله‌ها
نکتهٔ ۵ از ۶

۵نامعادله کسری

نقاط صفر صورت و مخرج، محور را به بازه‌ها می‌شکنند. در هر بازه علامت عوامل ثابت است و می‌توان با یک عدد آزمایشی یا جدول علامت نتیجه گرفت.

صفر مخرج هرگز عضو پاسخ نیست، حتی اگر عامل مشترک ساده شود. در ضرب دو طرف نامعادله در عدد منفی جهت نابرابری عوض می‌شود.

A/B>۰⇔AوBهم‌علامت وB≠۰
مثال حل‌شدهدر (x+۱)/(x−۲)>۰، نقاط مرزی −۱ و ۲ هستند؛ جواب x<−۱ یا x>۲ است و هیچ سرحدی داخل نیست.
دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: در نامعادله، ضرب دو طرف در عبارتی با علامت نامعلوم مجاز نیست؛ اگر آن عبارت منفی باشد جهت نابرابری عوض می‌شود، پس جدول علامت یا حالت‌بندی لازم است.
ایستگاه سنجش۱/(x−۳)>۰ را حل کن.
پاسخ کوتاه و دقیقx>۳؛ صورت مثبت است و مخرج باید مثبت باشد.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۸ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابمعادله‌ها و نامعادله‌ها
نکتهٔ ۶ از ۶

۶قدر مطلق و فاصله

|x−a| فاصلۀ x تا a است. کوچکتر بودن آن از r مثبت یعنی x داخل بازۀ دو سوی a است؛ بزرگ‌تر بودن یعنی بیرون آن بازه.

برای ≤ یا ≥، سرحدها را هم بررسی کن. اگر طرف دیگر منفی باشد، نامنفی بودن قدر مطلق سریعاً مسئله را تعیین می‌کند.

|x−a|<r ⇔ a−r<x<a+r (r>۰)
مثال حل‌شدهشرط |x−۲|≤۳ فاصله حداکثر ۳ از ۲ است؛ پس −۱≤x≤۵.
دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: چون قدر مطلق نامنفی است، نامعادله‌ای مانند |x−۲|<−۱ هیچ جوابی ندارد؛ برای طرف راست نامنفی باید بازه را بسازی.
ایستگاه سنجش|x|≤۲ را حل کن.
پاسخ کوتاه و دقیق[−۲،۲]؛ فاصله تا صفر حداکثر ۲ است.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۹ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابمعادله‌ها و نامعادله‌ها
کارگاه پایه و انتقال یادگیری

کارگاه جمع‌بندی: صفر شدن حاصل‌ضرب

پیش‌نیاز: تجزیه، محور اعداد و عبارت درجهٔ دوم

برای معادلۀ درجه دوم ابتدا همه جمله‌ها را به یک طرف بیاور. اگر بتوانی تجزیه کنی، هر عامل را جدا صفر قرار بده. قاعدۀ حاصل‌ضرب صفر فقط وقتی سمت دیگر صفر باشد قابل استفاده است. تقسیم بر یک عبارتِ دارای x ممکن است بعضی جواب‌ها را حذف کند.

حل را قدم‌به‌قدم ببین

  1. معادلهٔ x۲−۵x+۶=۰ را حل می‌کنیم.
  2. برای تجزیه، دو عدد می‌خواهیم که حاصل‌ضربشان ۶ و مجموعشان −۵ باشد
  3. این دو عدد −۲ و −۳ هستند.
  4. پس x۲−۵x+۶=(x−۲)(x−۳).
  5. چون حاصل‌ضرب صفر است، x−۲=۰ یا x−۳=۰ و جواب‌ها ۲ و ۳ هستند.
  6. کنترل: ۴−۱۰+۶=۰ و ۹−۱۵+۶=۰.
  7. هر دو جواب مجازند
  8. تقسیم بر x−۲ پیش از حل، جواب ۲ را حذف می‌کرد.

اگر بتوانی تجزیه کنی، هر عامل را جدا صفر قرار بده.

قاعدۀ حاصل‌ضرب صفر فقط وقتی سمت دیگر صفر باشد قابل استفاده است.

اشتباه رایجمی‌توان x۲=۴x را بر x تقسیم کرد و فقط x=۴ گرفت.
اصلاح: x=۰ هم جواب است و تقسیم بر x آن را حذف می‌کند.
تمرین مستقل: نامعادله (x−۲)(x+۱)≤۰ را حل کن.
پاسخ تشریحی: ریشه‌ها −۱ و ۲ هستند و حاصل‌ضرب بین دو ریشه نامثبت است؛ پس x∈[−۱،۲].
یک بار بدون نگاه به پاسخ بازحل کن.۱۰ / ۱۱
رندو مکس · نکات نابپایان مرور
راهنمای ریاضی رندو

فصل را فعالانه مرور کردی

مثال‌هایی را که بدون نگاه به پاسخ حل نکردی علامت بزن و در مرور بعدی فقط همان‌ها را دوباره حل کن.

۶ نکتهٔ منتخب · پایه دهم

جزوه رایگان و نکات ناب رندو مکس

این صفحه برای جست‌وجوی «جزوه ریاضی دهم فصل ۴»، «نکات ناب ریاضی» و مرور سریع کنکور و امتحان نهایی آماده شده است.