$جلد تأییدشدهٔ نکات ناب ریاضی رندو مکس$

پایه دهم · فصل ۰۳

توان‌های گویا و عبارت‌های جبری

از جمله: ریشه زوج و فرد · ساده‌کردن رادیکال · توان گویا · قانون‌های توان · اتحاد و تجزیه

۶ نکتهٔ منتخب

رندو مکس · نکات نابپایه دهم · نقشه فصل

قبل از شروع

توان‌های گویا و عبارت‌های جبری

$راهنمای ریاضی رندو$

این جزوه همراهت است تا نکته‌های پربازده فصل را مرور کنی. اول نکته را بخوان، مثال را خودت روی کاغذ حل کن و بعد پاسخ ایستگاه سنجش را ببین.

۱. ریشه زوج و فرد

۲. ساده‌کردن رادیکال

۳. توان گویا

۴. قانون‌های توان

۵. اتحاد و تجزیه

۶. گویاکردن مخرج

کارگاه ریشه زوج و فرد

رندو مکس · نکات نابپایه دهم · شکل‌خوانی

نقشهٔ تصویری فصل

توان‌های گویا و عبارت‌های جبری را ببین

تجسم اتحاد (a+b)² با چهار ناحیه؛ دو مستطیل هرکدام مساحت ab دارند. — تجسم اتحاد (a+b)^۲ با چهار ناحیه؛ دو مستطیل هرکدام مساحت ab دارند.

رندو مکس · نکات نابتوان‌های گویا و عبارت‌های جبری

نکتهٔ ۱ از ۶

۱ریشه زوج و فرد

ریشۀ دوم اصلی همیشه نامنفی است. معادلۀ x^۲=۹ دو جواب دارد، اما √۹ فقط ۳ است.

برای ریشۀ زوج در اعداد حقیقی، زیر رادیکال باید نامنفی باشد. ریشۀ فردِ عدد منفی وجود دارد؛ مثلاً ریشۀ سومِ −۸ برابر −۲ است. این دو موقعیت را پیش از محاسبه از هم جدا کن.

√(x^۲)=|x|; ∛(x^۳)=x

مثال حل‌شدهبرای x=−۴، √(x^۲)=۴ ولی ∛(x^۳)=−۴؛ ریشۀ زوج اصلی نامنفی است و ریشۀ فرد علامت را حفظ می‌کند.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: اگر x منفی باشد، پاسخ |x| است؛ برای x=−۲ جواب ۲ است.

ایستگاه سنجش√۴۹ و جواب‌های x^۲=۴۹ را مقایسه کن.

پاسخ کوتاه و دقیق√۴۹=۷؛ معادلۀ x^۲=۴۹ جواب‌های ۷ و −۷ دارد.

رندو مکس · نکات نابتوان‌های گویا و عبارت‌های جبری

نکتهٔ ۲ از ۶

۲ساده‌کردن رادیکال

برای ساده‌کردن ریشۀ دوم، عدد را به حاصل‌ضرب یک مربع کامل و عامل باقی‌مانده بشکن. سپس فقط رادیکال‌های هم‌نوع و هم‌زیررادیکال را جمع کن.

رابطۀ ضرب رادیکال‌های زوج را برای عامل‌های نامنفی به کار ببر؛ جدا کردن رادیکال یک جمع معمولاً مجاز نیست.

√(ab)=√a√b (a,b≥۰)

مثال حل‌شده√۷۲=√(۳۶×۲)=۶√۲؛ اما √(۳۶+۳۶) را نمی‌توان به ۶+۶ تبدیل کرد.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: برای a=b=۱، سمت چپ √۲ و سمت راست ۲ است؛ قانون جمع نداریم.

ایستگاه سنجش√۵۰−√۸ را ساده کن.

پاسخ کوتاه و دقیق۵√۲−۲√۲=۳√۲.

رندو مکس · نکات نابتوان‌های گویا و عبارت‌های جبری

نکتهٔ ۳ از ۶

۳توان گویا

برای پایۀ مثبت، توان m/n یعنی ریشۀ n‌امِ توان m‌ام. شرط پایۀ مثبت اجازه می‌دهد قوانین معمول توان را بدون ابهام به کار ببریم.

توان منفی یعنی معکوس؛ منفی بودن توان با منفی بودن مقدار فرق دارد. برای پایۀ صفر، توان منفی تعریف ندارد.

a^m/n=ⁿ√(a^m) (a>۰); a^−m=۱/a^m

مثال حل‌شده۲۷^۲/۳ را می‌توان با ریشۀ سوم ۳ و سپس مربع ۹ حساب کرد؛ مخرج توان نوع ریشه را نشان می‌دهد.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: ۲^−۳=۱/۸ مثبت است؛ توان منفی یعنی معکوس.

ایستگاه سنجش۱۶^۳/۴ چند است؟

پاسخ کوتاه و دقیقریشۀ چهارم ۱۶ برابر ۲ است؛ ۲^۳=۸.

رندو مکس · نکات نابتوان‌های گویا و عبارت‌های جبری

نکتهٔ ۴ از ۶

۴قانون‌های توان

در ضرب توان‌های هم‌پایه، توان‌ها جمع و در تقسیم کم می‌شوند. در توانِ یک توان، توان‌ها ضرب می‌شوند.

این قواعد را در چارچوب پایۀ مثبت به کار می‌بریم. در جمع دو توان، قاعدۀ مشابهی نداریم؛ ابتدا مقدارها را حساب یا عامل مشترک را خارج کن.

a^m aⁿ=a^m+n; (a^m)ⁿ=a^mn (a>۰)

مثال حل‌شدهبرای a>۰، a^۲×a^۳=a^۵ ولی a^۲+a^۳=a^۲(۱+a)؛ قانون جمع توان فقط برای ضرب پایه‌های یکسان است.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: این قانون مربوط به ضرب است؛ مثلاً ۲+۲=۴ ولی ۲¹⁺¹=۴ فقط یک تصادف خاص است و ۲^۲+۲^۳≠۲^۵.

ایستگاه سنجش۳^۵÷۳^۳ چند است؟

پاسخ کوتاه و دقیق۳^۲=۹.

رندو مکس · نکات نابتوان‌های گویا و عبارت‌های جبری

نکتهٔ ۵ از ۶

۵اتحاد و تجزیه

مربع مجموع شامل مربع دو جمله و دو برابر حاصل‌ضرب آن‌هاست. تفاضل دو مربع به حاصل‌ضرب مجموع و تفاضل تبدیل می‌شود.

تجزیه یعنی مسیر باز کردن پرانتز را برعکس برویم؛ اول عامل مشترک و سپس الگوی اتحاد را جست‌وجو کن.

مکعب مجموع از ضرب (a+b)^۲ در (a+b) به دست می‌آید. پس (a+b)^۳=a^۳+۳a^۲b+۳ab^۲+b^۳؛ در مکعب تفاضل علامت‌ها یکی‌درمیان‌اند: (a−b)^۳=a^۳−۳a^۲b+۳ab^۲−b^۳. این‌ها با مجموع مکعب‌ها فرق دارند؛ a^۳+b^۳=(a+b)(a^۲−ab+b^۲) و a^۳−b^۳=(a−b)(a^۲+ab+b^۲). با بازکردن پرانتزها، جمله‌های میانیِ اتحادهای آخر حذف می‌شوند.

(a+b)^۲=a^۲+۲ab+b^۲; a^۲−b^۲=(a−b)(a+b)

مثال حل‌شدهعبارت x^۲+۶x+۹=(x+۳)^۲ است؛ ضریب وسط ۶ حاصل ۲×۳ است، پس با x^۲+۹ فرق دارد.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: در مربع تفاضل (a−b)^۲، جملهٔ میانی −۲ab و جملهٔ آخر +b^۲ است؛ در مربع مجموع (a+b)^۲، جملهٔ میانی +۲ab است.

ایستگاه سنجشx^۲+۱۰x+۲۵ را تجزیه کن.

پاسخ کوتاه و دقیق(x+۵)^۲؛ جمله میانی برابر ۲×x×۵ است.

رندو مکس · نکات نابتوان‌های گویا و عبارت‌های جبری

نکتهٔ ۶ از ۶

۶گویاکردن مخرج

در کسر دارای مخرج رادیکالی، می‌توان صورت و مخرج را در یک مقدار ناصفر ضرب کرد. برای مخرج √a+√b، مزدوج √a−√b مناسب است؛ حاصل مخرج a−b می‌شود. شرط ناصفر بودن مخرج اصلی همچنان برقرار است.

برای ۱/(√a+√b)، ضرب در مزدوج √a−√b فقط وقتی مجاز است که a,b≥۰ و a≠b؛ چون عامل ضرب باید ناصفر باشد. اگر a=b>۰، مخرج ۲√a است و مستقیم ساده می‌شود: برای a=b=۱، مقدار کسر ۱/۲ است، نه ۰/۰. در مثال a=۳,b=۱ مزدوج √۳−۱ ناصفر و روش معتبر است.

(√a+√b)(√a−√b)=a−b

مثال حل‌شدهبرای ۱/(√۴+√۴)، مزدوج صفر است و مجاز نیست؛ مخرج مستقیم ۴ و جواب ۱/۴ است.

دام و کنترلاینجا حواست جمع باشد: برای ثابت ماندن کسر، صورت هم باید در همان مقدار ضرب شود.

ایستگاه سنجش۱/√۵ را گویا کن.

پاسخ کوتاه و دقیق√۵/۵؛ صورت و مخرج را در √۵ ضرب می‌کنیم.

رندو مکس · نکات نابتوان‌های گویا و عبارت‌های جبری

کارگاه پایه و انتقال یادگیری

کارگاه جمع‌بندی: ریشه زوج و فرد

پیش‌نیاز: ضرب چندجمله‌ای و قواعد علامت

ریشۀ دوم اصلی همیشه نامنفی است. معادلۀ x^۲=۹ دو جواب دارد، اما √۹ فقط ۳ است. برای ریشۀ زوج در اعداد حقیقی، زیر رادیکال باید نامنفی باشد. ریشۀ فردِ عدد منفی وجود دارد؛ مثلاً ریشۀ سومِ −۸ برابر −۲ است. این دو موقعیت را پیش از محاسبه از هم جدا کن.

حل را قدم‌به‌قدم ببین

برای √((−۵)^۲)، ابتدا داخل پرانتز را مربع می‌کنیم: ۲۵
ریشهٔ دوم اصلیِ ۲۵ برابر ۵ است، نه −۵.
پس √(x^۲)=|x| در x=−۵ نیز درست کار می‌کند.
در مقابل، ∛(−۲۷)=−۳، چون (−۳)^۳=−۲۷.
برای ریشهٔ فرد علامت منفی مجاز است
برای ریشهٔ دومِ عدد منفی در اعداد حقیقی جوابی نداریم.

معادلۀ x^۲=۹ دو جواب دارد، اما √۹ فقط ۳ است.

برای ریشۀ زوج در اعداد حقیقی، زیر رادیکال باید نامنفی باشد.

اشتباه رایج√(x^۲)=x برای همۀ حقیقی‌هاست.
اصلاح: اگر x منفی باشد، پاسخ |x| است؛ برای x=−۲ جواب ۲ است.

تمرین مستقل: عبارت √۷۲−√۸ را ساده کن.

پاسخ تشریحی: √۷۲=۶√۲ و √۸=۲√۲؛ پس تفاضل برابر ۴√۲ است.

رندو مکس · نکات نابپایان مرور

$راهنمای ریاضی رندو$

فصل را فعالانه مرور کردی

مثال‌هایی را که بدون نگاه به پاسخ حل نکردی علامت بزن و در مرور بعدی فقط همان‌ها را دوباره حل کن.

۶ نکتهٔ منتخب · پایه دهم

پایه دهم · فصل ۰۳

توان‌های گویا و عبارت‌های جبری

توان‌های گویا و عبارت‌های جبری را ببین

۱ریشه زوج و فرد

۲ساده‌کردن رادیکال

۳توان گویا

۴قانون‌های توان

۵اتحاد و تجزیه

۶گویاکردن مخرج

کارگاه جمع‌بندی: ریشه زوج و فرد

حل را قدم‌به‌قدم ببین

فصل را فعالانه مرور کردی

جزوه رایگان و نکات ناب رندو مکس