۱نسبت‌های مثلثاتی

در مثلث قائم‌الزاویه اول زاویۀ مورد نظر را علامت بزن. وتر روبه‌روی زاویۀ قائمه است و عوض نمی‌شود؛ اما ضلع مقابل و مجاور با انتخاب زاویه عوض می‌شوند.

سینوس نسبت مقابل به وتر، کسینوس نسبت مجاور به وتر و تانژانت نسبت مقابل به مجاور است. چون هر سه نسبت‌اند، با بزرگ‌کردن مشابه مثلث تغییر نمی‌کنند.

نسبت چهارم، کتانژانت، در مثلث قائم برابر مجاور تقسیم بر مقابل است. روی دایرهٔ واحد cot θ=cos θ/sin θ با شرط sin θ≠۰. بنابراین در ۰ و ۱۸۰ درجه تعریف ندارد، ولی در ۹۰ درجه صفر است. رابطهٔ tan θ×cot θ=۱ فقط وقتی معتبر است که هر دو نسبت تعریف باشند؛ نباید آن را در زاویهٔ ۹۰ درجه اجرا کرد.

۲زاویه‌های معروف

در مثلث قائم متساوی‌الساقین، دو ساق برابرند و وتر √۲ برابر هر ساق است؛ پس سینوس و کسینوس ۴۵ درجه هر دو √۲/۲ هستند. با نصف کردن مثلث متساوی‌الاضلاع نیز نسبت‌های ۳۰ و ۶۰ درجه به دست می‌آیند.

این شکل‌ها کمک می‌کنند جدول نسبت‌ها را بفهمی، نه اینکه فقط عددهایش را حفظ کنی.

۳دایرۀ مثلثاتی و علامت

روی دایرۀ واحد، نقطۀ متناظر زاویه θ مختصات (cos θ,sin θ) دارد. پس کسینوس را افقی و سینوس را عمودی بخوان.

در ناحیۀ دوم، افقی منفی و عمودی مثبت است؛ در نتیجه تانژانت منفی می‌شود. زاویه‌های روی محور را جدا بررسی کن؛ نسبت‌هایی که مخرج صفر دارند تعریف نمی‌شوند.

۴رابطۀ اصلی و شرط‌ها

از x^۲+y^۲=۱ روی دایرۀ واحد، رابطۀ sin^۲θ+cos^۲θ=۱ به دست می‌آید. وقتی یکی از نسبت‌ها داده شده، مربع دیگری را حساب کن و سپس علامت را از ناحیه تعیین کن.

گرفتن ریشۀ مثبت بدون دانستن ناحیه می‌تواند جواب را عوض کند. تقسیم این رابطه بر cos^۲θ فقط وقتی مجاز است که کسینوس صفر نباشد.

۵مساحت با دو ضلع و زاویه

اگر دو ضلع و زاویۀ بینشان معلوم باشد، ارتفاع نسبت به یکی از ضلع‌ها برابر ضلع دیگر ضربدر سینوس زاویۀ بین است. با گذاشتن آن در نصف قاعده ضربدر ارتفاع، فرمول مساحت به دست می‌آید.

باید زاویۀ بین همان دو ضلع را به کار ببری؛ زاویۀ نامرتبط کافی نیست.

۶ارتفاع و زاویۀ دید

در یک مدل ساده، زمین افقی و جسم عمودی یک مثلث قائم می‌سازند. اگر فاصلۀ افقی d و زاویۀ دید θ باشد، اختلاف ارتفاع برابر d tan θ است.

اگر زاویه از چشم ناظر اندازه گرفته شده باشد، ارتفاع چشم را در پایان اضافه کن. اول شکل و واحدها را مشخص کن تا فاصله افقی با وتر اشتباه نشود.