جلد تأییدشدهٔ نکات ناب ریاضی رندو مکس

پایه دهم · فصل ۰۱

مجموعه، الگو و دنباله

از جمله: عضو با زیرمجموعه فرق دارد · بازه را از روی شرط بساز · اجتماع و اشتراک · مرجع و متمم · شمارش بدون دوباره‌شماری

۹ نکتهٔ منتخب
رندو مکس · نکات نابپایه دهم · نقشه فصل
قبل از شروع

مجموعه، الگو و دنباله

راهنمای ریاضی رندو

این جزوه همراهت است تا نکته‌های پربازده فصل را مرور کنی. اول نکته را بخوان، مثال را خودت روی کاغذ حل کن و بعد پاسخ ایستگاه سنجش را ببین.

۱. عضو با زیرمجموعه فرق دارد
۲. بازه را از روی شرط بساز
۳. اجتماع و اشتراک
۴. مرجع و متمم
۵. شمارش بدون دوباره‌شماری
۶. دنباله حسابی و دلیل n−۱
۷. دنباله هندسی و ضرب ثابت
۸. مدل درصد و زمان
۹. انتخاب راه‌حل و کنترل جواب
کارگاه عضو با زیرمجموعه فرق دارد
مسیر مرور فصل۲ / ۱۴
رندو مکس · نکات نابپایه دهم · شکل‌خوانی
نقشهٔ تصویری فصل

مجموعه، الگو و دنباله را ببین

ردیف بالا هر بار 3 واحد اضافه می‌کند؛ ردیف پایین هر بار دو برابر می‌شود. ترتیب جمله‌ها در شکل از چپ به راست است.
ردیف بالا هر بار ۳ واحد اضافه می‌کند؛ ردیف پایین هر بار دو برابر می‌شود. ترتیب جمله‌ها در شکل از چپ به راست است.
شکل را به زبان خودت توضیح بده.۳ / ۱۴
رندو مکس · نکات نابمجموعه، الگو و دنباله
نکتهٔ ۱ از ۹

۱عضو با زیرمجموعه فرق دارد

مجموعه را مانند ظرفی با اعضای مشخص ببین. عضویت می‌پرسد یک شیء داخل ظرف هست یا نه؛ زیرمجموعه بودن می‌پرسد همۀ اعضای یک مجموعه در مجموعۀ دیگر هستند یا نه.

در نوشتن اعضا، ترتیب و تکرار اهمیتی ندارد. مجموعۀ تهی هیچ عضو ندارد، ولی مجموعه‌ای که تهی را به‌عنوان یک عضو در خود دارد، یک عضو دارد.

x∈Aیعنی x عضو A است؛ B⊆A یعنی هر عضو B در A است.
مثال حل‌شدهاگر A={۱,{۲}} باشد، ۲ عضو A نیست ولی {۲} عضو آن است؛ {۱} نیز زیرمجموعه است چون تنها عضوش در A وجود دارد.
دام و کنترلپیش از انتخاب نماد، به دو طرف نگاه کن. برای بررسی A⊆B باید تک‌تک اعضای A را در B پیدا کنی؛ یک عضوِ جاافتاده برای رد ادعا کافی است. تهی زیرمجموعۀ هر مجموعه است، چون عضوی ندارد که شرط را نقض کند؛ اما تهی فقط وقتی عضو مجموعه است که واقعاً به‌عنوان یک عضو در آن آمده باشد.
ایستگاه سنجشاگر A={۲،۵} باشد، آیا {۲} زیرمجموعۀ A است؟
پاسخ کوتاه و دقیقبله. تنها عضو {۲} همان عدد ۲ است و در A وجود دارد؛ پس {۲}⊆A.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۴ / ۱۴
رندو مکس · نکات نابمجموعه، الگو و دنباله
نکتهٔ ۲ از ۹

۲بازه را از روی شرط بساز

بازه همۀ عددهای حقیقی بین سرحدهای خود را در بر می‌گیرد. کروشه یعنی سرحد عضو است و پرانتز یعنی عضو نیست.

برای نوشتن بازه، ابتدا عدد کوچک‌تر را در سمت چپ قرار بده و سپس وضعیت هر سرحد را جداگانه تعیین کن. بی‌نهایت عدد حقیقی نیست و هیچ‌وقت کنار آن کروشۀ بسته نمی‌گذاریم.

بازه را با مجموعه‌ای شامل فقط دو سرحد اشتباه نگیر. [۱,۴] بی‌نهایت عضو دارد اما {۱,۴} دو عضو دارد. در شرطی مثل ۱≤x<۴، اگر x صحیح باشد مجموعه فقط {۱,۲,۳} است؛ نوع عددها بخشی از پاسخ است.

پرانتز و کروشه را جدا نگاه کن.
مثال حل‌شدهشرط −۳<x≤۲ بازۀ (−۳,۲] است؛ −۳ حذف می‌شود ولی ۲ مجاز است. این تفاوت با آزمودن دو سر بازه کنترل می‌شود.
دام و کنترلاشتراک دو بازه اگر بیش از یک نقطه داشته باشد، بی‌نهایت نقطه دارد؛ برای متناهی بودن اشتراک باید تهی یا تک‌عضوی شود و وضعیت هر دو سرحد جدا بررسی شود.
ایستگاه سنجشدر بازۀ (۱،۴]، آیا ۱ و ۴ هر دو عضو هستند؟
پاسخ کوتاه و دقیق۱ عضو نیست؛ سرحد چپ باز است. ۴ عضو است؛ سرحد راست بسته است.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۵ / ۱۴
رندو مکس · نکات نابمجموعه، الگو و دنباله
نکتهٔ ۳ از ۹

۳اجتماع و اشتراک

اشتراک یعنی اعضایی که در هر دو مجموعه‌اند. اجتماع یعنی اعضایی که در دست‌کم یکی هستند.

واژۀ «یا» در اجتماع، داشتن هر دو ویژگی را هم می‌پذیرد. هنگام رسم، اول مجموعۀ اول و دوم را جدا نشان بده، سپس ناحیۀ خواسته‌شده را انتخاب کن.

دنبال عددی بگرد که در هر دو فهرست هست.
مثال حل‌شدهبرای A={۱,۳,۵} و B={۳,۴}، اشتراک {۳} و اجتماع {۱,۳,۴,۵} است؛ عضو مشترک فقط یک‌بار نوشته می‌شود.
دام و کنترلدر اجتماع، عضو مشترک فقط یک بار نوشته می‌شود. روی محور، نقطۀ مشترک زمانی عضو اشتراک است که هر دو بازه آن را بپذیرند؛ برای اجتماع پذیرفتن یکی کافی است. می‌توان اجتماع دو بازۀ چسبیده را یک بازه نوشت، اگر در محل اتصال شکاف باقی نماند.
ایستگاه سنجشA={۱،۲} و B={۲،۳}. عضو مشترک چیست؟
پاسخ کوتاه و دقیقفقط ۲ در هر دو هست؛ پس A∩B={۲}.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۶ / ۱۴
رندو مکس · نکات نابمجموعه، الگو و دنباله
نکتهٔ ۴ از ۹

۴مرجع و متمم

متمم A تمام اعضای مرجع U است که در A نیستند. پس بدون تعیین مرجع، پاسخ متمم می‌تواند مبهم باشد.

در یک کلاس، متمم اعضای گروه تئاتر یعنی بقیۀ دانش‌آموزان همان کلاس؛ اگر مرجع مدرسه شود، جواب بزرگ‌تر می‌شود.

A و A′ اشتراک تهی دارند و اجتماعشان U است. متمم تهی، U و متمم U، تهی است. متمم گرفتن دوباره به A برمی‌گرداند، به شرط آنکه مرجع در هر دو مرحله ثابت بماند.

عضوهای U را که در A نیستند علامت بزن.
مثال حل‌شدهاگر U={۱,۲,۳,۴,۵} و A={۲,۵}، متمم A برابر {۱,۳,۴} است؛ بیرون از U را وارد پاسخ نمی‌کنیم.
دام و کنترلمتمم بدون تعیین مجموعۀ مرجع یکتا نیست؛ مرجع U بخشی از دادهٔ مسئله است.
ایستگاه سنجشU={۱،۲،۳،۴} و A={۱،۴}. بقیۀ اعضا کدام‌اند؟
پاسخ کوتاه و دقیق۲ و ۳؛ پس A′={۲،۳}.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۷ / ۱۴
رندو مکس · نکات نابمجموعه، الگو و دنباله
نکتهٔ ۵ از ۹

۵شمارش بدون دوباره‌شماری

وقتی تعداد اعضای A و B را جمع می‌کنی، اعضای مشترک دو بار شمرده می‌شوند. برای تعداد اجتماع باید یک بار تعداد اشتراک را کم کنی.

این رابطه برای مجموعه‌های متناهی است. در مسئله‌های کلامی ابتدا مشخص کن عدد داده‌شده مربوط به «کل اعضای A» است یا «فقط A».

چهار ناحیه بنویس: فقط A، مشترک، فقط B، هیچ‌کدام. از ناحیۀ مشترک شروع کن؛ سپس آن را از هر کل کم کن. برای «دقیقاً یکی» باید اشتراک را از مجموع دو تعداد، دو بار کم کرد؛ برای «حداقل یکی» فقط یک بار.

مشترک‌ها را در جمع اولیه دوبار شمرده‌ای.
مثال حل‌شدهاگر ۱۲ نفر چای، ۹ نفر قهوه و ۴ نفر هر دو را انتخاب کنند، تعداد حداقل یکی ۱۲+۹−۴=۱۷ نفر است.
دام و کنترلداده‌ها باید با n(A∩B)≤min(n(A),n(B)) و n(A∪B)≤n(U) سازگار باشند. اگر جواب یک ناحیه منفی شد، محاسبه یا داده اشتباه است. این کنترل قبل از انتخاب گزینه جلوی پاسخ‌های ظاهراً عددی اما ناممکن را می‌گیرد.
ایستگاه سنجشدو گروه ۸ و ۷ نفره، ۳ عضو مشترک دارند. روی‌هم چند نفرند؟
پاسخ کوتاه و دقیق۸+۷−۳=۱۲ نفر. سه عضو مشترک باید فقط یک بار حساب شوند.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۸ / ۱۴
رندو مکس · نکات نابمجموعه، الگو و دنباله
نکتهٔ ۶ از ۹

۶دنباله حسابی و دلیل n−۱

دنباله حسابی با افزودن عدد ثابت d به جمله قبل ساخته می‌شود. از جمله اول تا جمله دوم یک گام و تا جمله سوم دو گام داریم؛ بنابراین تا جمله n‌ام، n−۱ گام طی می‌شود.

به همین دلیل an=a۱+(n−۱)d. برای d منفی، جمله‌ها کاهش می‌یابند و برای d صفر ثابت می‌مانند.

از فرمول می‌توان نوشت an=dn+(a۱−d). پس ضریب n برابر d است، نه همیشه خود a۱. اگر دنباله از شماره صفر تعریف شده باشد فرمول مناسب an=a۰+nd است؛ مبدأ شمارش را از متن سؤال بخوان.

از ۱ تا ۶، فاصله‌ها را بشمار.
مثال حل‌شدهدر دنبالهٔ حسابی با a۱=۸ و d=−۲، جملهٔ ششم ۸+۵×(−۲)=−۲ است؛ پنج جابه‌جایی از اول تا ششم داریم.
دام و کنترلدر جمله‌های با فاصله برابر، اختلاف مقدارها هم برابر است. برای هر k مجاز، an+k−an=kd. این رابطه در سؤال‌های با شماره‌های بزرگ، محاسبات را کوتاه می‌کند و نیاز به یافتن جمله اول را از بین می‌برد.
ایستگاه سنجشاز جملۀ اول تا جملۀ ششم چند بار d اضافه می‌کنیم؟
پاسخ کوتاه و دقیق۵ بار؛ پس a۶=a۱+۵d. شش جمله داریم اما پنج گام.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۹ / ۱۴
رندو مکس · نکات نابمجموعه، الگو و دنباله
نکتهٔ ۷ از ۹

۷دنباله هندسی و ضرب ثابت

در دنباله هندسی هر جمله از ضرب جمله قبل در عدد ثابت r به دست می‌آید. طبق تعریف کتاب، جمله اول و r ناصفرند.

تا جمله n‌ام، n−۱ بار ضرب کرده‌ایم؛ پس an=a۱rn−۱. برای محاسبۀ r، جمله بعدی را بر قبلی تقسیم کن.

هر جمله چند برابر قبلی است؟
مثال حل‌شدهدر هندسی با a۱=۳ و r=−۲، جملهٔ چهارم ۳×(−۲)۳=−۲۴ است؛ علامت با فرد بودن توان تعیین می‌شود.
دام و کنترلاگر r منفی باشد علامت‌ها یکی در میان عوض می‌شوند. اگر جمله اول مثبت و ۰<r<۱ باشد جمله‌ها مثبت و کاهشی‌اند. بزرگ‌تر از یک بودن r به‌تنهایی افزایشی بودن دنباله را تضمین نمی‌کند؛ علامت جمله اول هم مهم است.
ایستگاه سنجشدر ۳،۶،۱۲،… جملۀ بعد چیست؟
پاسخ کوتاه و دقیققدرنسبت ۲ است؛ ۱۲×۲=۲۴.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۱۰ / ۱۴
رندو مکس · نکات نابمجموعه، الگو و دنباله
نکتهٔ ۸ از ۹

۸مدل درصد و زمان

افزایش ده درصدی یعنی مقدار تازه ۱.۱ برابر مقدار قبلی است؛ کاهش ده درصدی یعنی ضریب ۰.۹. اگر این درصد در هر مرحله نسبت به مرحلۀ قبل اعمال شود، مدل هندسی است.

زمان آغاز را t=۰ بگیر تا پس از t مرحله مقدار Pt=P۰rt باشد.

۸۰ درصد مقدار باقی می‌ماند.
مثال حل‌شدهکاهش ۲۰ درصدی مبلغ ۵۰۰ در یک دوره ۵۰۰×۰.۸=۴۰۰ است؛ در دو دوره ۴۰۰×۰.۸=۳۲۰، نه ۳۰۰.
دام و کنترلدرصد ثابت را با افزایش مقدار ثابت اشتباه نگیر. افزودن ۱۰۰ واحد در هر مرحله حسابی است، ولی افزودن ده درصد مقدار موجود، هندسی است. در مسئله‌های شمارش اشیا، گردکردن و محدودیت واقعی باید در متن مدل مشخص باشد.
ایستگاه سنجش۱۰۰ واحد با کاهش ۲۰ درصدی چقدر می‌شود؟
پاسخ کوتاه و دقیق۱۰۰×۰٫۸=۸۰ واحد. در مرحلۀ بعد، درصد را از ۸۰ حساب می‌کنیم.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۱۱ / ۱۴
رندو مکس · نکات نابمجموعه، الگو و دنباله
نکتهٔ ۹ از ۹

۹انتخاب راه‌حل و کنترل جواب

پیش از فرمول‌گذاری، نوع مسئله را تشخیص بده: عضویت و بازه، شمارش مجموعه، الگوی شکلی، حسابی یا هندسی. داده‌ها را با نماد بنویس، یک رابطۀ مناسب انتخاب کن و در پایان جواب را به زبان سؤال برگردان.

عدد بی‌واحد یا شمارۀ غیرطبیعی ممکن است پاسخ مسئله نباشد.

در مجموعه‌ها چهار ناحیه باید نامنفی باشند. در حسابی اختلاف دو جمله پیاپی باید d و در هندسی نسبت دو جمله پیاپی باید r باشد. یک جایگذاری مستقیم در داده اصلی، بیشتر خطاهای علامت و جابه‌جایی شماره را آشکار می‌کند.

شماره‌های این دنباله از چه نوع عددی‌اند؟
مثال حل‌شدهدنبالهٔ ۴،۸،۱۲ حسابی با d=۴ است؛ نسبت‌ها ۲ و ۱.۵ ثابت نیستند، پس هندسی نیست.
دام و کنترلاگر سه جملۀ ناصفرِ متوالی a−d، a و a+d هم‌زمان حسابی و هندسی باشند، در دنبالهٔ هندسی مربع جملۀ میانی برابر حاصل‌ضرب دو جملۀ کناری است؛ پس a۲=(a−d)(a+d)=a۲−d۲، بنابراین d=۰ و هر سه جمله برابرند.
ایستگاه سنجشاگر حل سؤال n=۲.۵ بدهد، آیا جملۀ دوونیم داریم؟
پاسخ کوتاه و دقیقخیر؛ شماره باید طبیعی باشد. پس آن مقدار، جمله‌ای از این دنباله نیست.
ریاضی را با شرط‌ها حل کن، نه با حدس.۱۲ / ۱۴
رندو مکس · نکات نابمجموعه، الگو و دنباله
کارگاه پایه و انتقال یادگیری

کارگاه جمع‌بندی: عضو با زیرمجموعه فرق دارد

پیش‌نیاز: خواندن آکولاد، عضویت و مقایسۀ فهرست اعضا

مجموعه را مانند ظرفی با اعضای مشخص ببین. عضویت می‌پرسد یک شیء داخل ظرف هست یا نه؛ زیرمجموعه بودن می‌پرسد همۀ اعضای یک مجموعه در مجموعۀ دیگر هستند یا نه. در نوشتن اعضا، ترتیب و تکرار اهمیتی ندارد. مجموعۀ تهی هیچ عضو ندارد، ولی مجموعه‌ای که تهی را به‌عنوان یک عضو در خود دارد، یک عضو دارد.

حل را قدم‌به‌قدم ببین

  1. در A={۲,۲,۵}، تکرارِ ۲ عضو تازه نمی‌سازد
  2. بنابراین A={۲,۵} و n(A)=۲.
  3. برای ۲∈A خود عدد ۲ را در فهرست پیدا می‌کنیم.
  4. برای {۲}⊆A تنها عضو مجموعهٔ {۲} را بررسی می‌کنیم و آن عضو در A هست.
  5. اما {۲}∈A نادرست است: اعضای A عددهای ۲ و ۵ هستند، نه یک مجموعه.
  6. این سه پرسش ظاهر نزدیک ولی موضوع متفاوت دارند.

مجموعۀ تهی هیچ عضو ندارد، ولی مجموعه‌ای که تهی را به‌عنوان یک عضو در خود دارد، یک عضو دارد.

اشتباه رایجاگر عددی در A باشد، خودبه‌خود مجموعۀ تک‌عضویِ آن هم عضو A است.
اصلاح: عضو و زیرمجموعه را جدا کن: از ۲∈A می‌توان {۲}⊆A را نتیجه گرفت، اما {۲}∈A فقط وقتی درست است که خودِ مجموعۀ {۲} در فهرست اعضا آمده باشد.
تمرین مستقل: نسبت به U={۱،۲،۳،۴،۵،۶}، اگر A={۱،۳،۵} و B={۳،۴،۵} باشد، متمم A∪B را بیاب.
پاسخ تشریحی: ابتدا A∪B={۱،۳،۴،۵} است؛ پس اعضای U که در اجتماع نیستند ۲ و ۶ هستند و (A∪B)′={۲،۶}.
یک بار بدون نگاه به پاسخ بازحل کن.۱۳ / ۱۴
رندو مکس · نکات نابپایان مرور
راهنمای ریاضی رندو

فصل را فعالانه مرور کردی

مثال‌هایی را که بدون نگاه به پاسخ حل نکردی علامت بزن و در مرور بعدی فقط همان‌ها را دوباره حل کن.

۹ نکتهٔ منتخب · پایه دهم

جزوه رایگان و نکات ناب رندو مکس

این صفحه برای جست‌وجوی «جزوه ریاضی دهم فصل ۱»، «نکات ناب ریاضی» و مرور سریع کنکور و امتحان نهایی آماده شده است.