تصویر هندسی جلد
رندو مکس • رایگان

نکات ناب
هندسه

پایهٔ ۱۲ • فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی

نقشهٔ فصل

فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی

این فصل ۳ درس و ۱۲ نکتهٔ منتخب دارد. ترتیب زیر کمک می‌کند هر فرمول را همراه شرط و دلیلش مرور کنی.

درس‌های این فصل

  1. مقاطع مخروطی و مکان هندسی — پیش‌نیاز: فاصلهٔ نقطه از خط، فیثاغورس
  2. دایره در مختصات — پیش‌نیاز: فاصله، مربع کامل
  3. بیضی و سهمی — پیش‌نیاز: مکان هندسی، مربع کامل
بودجه‌بندی پیشنهادی مرور
۷۵ دقیقه
  1. یک دور قضیه‌ها را همراه شرط کاربرد بخوان.
  2. راه‌حل‌ها را با پوشاندن سطر آخر، خودت کامل کن.
  3. دام‌ها را به صورت یک پرسش کوتاه برای خودت بازگو کن.
  4. سنجش‌های ناب را بدون نگاه به پاسخ حل و سپس کنترل کن.
FPd

درس ۱: مقاطع مخروطی و مکان هندسی

پیش‌نیاز: فاصلهٔ نقطه از خط، فیثاغورس
نکتهٔ ۱

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

مکان هندسی مجموعهٔ همهٔ نقاطی است که یک ویژگی را دارند و هر نقطهٔ دارای آن ویژگی نیز عضو مجموعه است. سهمی مکان نقاط هم‌فاصله از کانون F و خط هادی d است، به شرط آن‌که F نقطه‌ای ثابت و خارج از خط d باشد. بیضیِ غیرتباه مکان نقاطی است که مجموع فاصله‌شان از دو کانون برابر ۲a باشد، به شرط ۲a>F۱F۲. هذلولی در این درس فقط در حد تشخیص نوع برشِ صفحه و مخروط نام برده می‌شود.

چرا مهم است؟
چهار نوع برش دایره، بیضی، سهمی و هذلولی را می‌توان به‌صورت شهودی دید؛ در این درس بررسی دقیق به دایره، بیضی، سهمی و مفهوم مکان هندسی محدود می‌ماند و برای هذلولی فقط تشخیص نوع برش لازم است.

ادامهٔ درس ۱: مقاطع مخروطی و مکان هندسی

برهان و مسیر حل
نکتهٔ ۲

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

برای شرط فاصله از خط، پای عمود رسم کن؛ برای دو کانون، پاره‌خط‌های PF۱ و PF۲ را بکش.

دلیل و مسیر برهان
برای نمونهٔ کامل، سهمی با کانون F=(p,۰) و خط هادی x=−p را در نظر بگیرید؛ p>۰. فاصلهٔ P=(x,y) تا F برابر √((x−p)۲+y۲) و فاصله‌اش تا هادی |x+p| است. شرط برابری پس از توان دوم می‌دهد (x−p)۲+y۲=(x+p)۲، پس y۲=۴px. جهت عکس: اگر y۲=۴px، چون p>۰ داریم x≥۰ و در نتیجه x+p>۰؛ جایگذاری نشان می‌دهد دو مربع فاصله برابرند و چون خود فاصله‌ها نامنفی‌اند، فاصله‌ها برابرند. پس هر دو جهت ثابت شده و توان دوم جواب کاذب نساخته است. تعریف‌های بیضی و هذلولی نیز باید با همین کنترل دوطرفه استفاده شوند.

کاربرد و دام • مقاطع مخروطی و مکان هندسی

پایهٔ ۱۲
نکتهٔ ۳

دامی که جواب را عوض می‌کند

هر معادلهٔ درجه‌دو سهمی نیست؛ x۲+y۲=۱ دایره است. نوع و شرایط ضرایب را بررسی کن.

نمونهٔ کنترل‌شده
F=(۲,۰)، هادی x=−۲. برای P=(x,y): √((x−۲)۲+y۲)=|x+۲|. با توان دوم: y۲=۸x؛ سمت راست باید x≥۰ باشد که خود معادله تضمین می‌کند.
نکتهٔ ۴

سنجش ناب

A و B دو نقطهٔ متمایز و d یک خط‌اند. نقاطی را که هم از A و B هم‌فاصله‌اند و هم فاصله‌شان از d برابر عدد حقیقی k است بساز و تعداد جواب‌ها را برای همهٔ k طبقه‌بندی کن.

پاسخ تشریحی
عمودمنصف AB را m بنامید. اگر k<۰ باشد، چون فاصله منفی نیست هیچ جوابی نداریم. اگر k=۰ باشد، مکان شرط دوم خود خط d است؛ بنابراین m و d در حالت ناموازی دقیقاً یک اشتراک، در حالت موازیِ متمایز صفر اشتراک و در حالت انطباق بی‌شمار اشتراک دارند. اگر k>۰ باشد، مکان شرط دوم دو خط موازیِ متمایز d₊ و d₋ در دو سوی d و در فاصلهٔ k است. اگر m با d ناموازی باشد، با هر یک از d₊ و d₋ دقیقاً یک بار قطع می‌شود و دو جواب متمایز داریم. اگر m با d موازی باشد، یا با یکی از آن دو خط منطبق است و بی‌شمار جواب داریم، یا با هر دو موازیِ متمایز است و جوابی نداریم؛ در این حالت یک جواب ممکن نیست.

درس ۲: دایره در مختصات

پیش‌نیاز: فاصله، مربع کامل
نکتهٔ ۵

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

دایرهٔ مرکز (h,k) و شعاع r>۰: (x−h)۲+(y−k)۲=r۲. خط مماس در P بر شعاع OP عمود است.

چرا مهم است؟
معادلهٔ دایره ترجمهٔ جبری «فاصله از مرکز ثابت است» است.
نکتهٔ ۶

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

در معادلهٔ عمومی، xها و yها را جدا مربع کامل کن؛ علامت مرکز خلاف علامت داخل پرانتز است.

دلیل و مسیر برهان
از فرمول فاصله، OP=r دقیقاً معادله را می‌دهد و چون هر دو طرف نامنفی‌اند، رفت‌وبرگشت مجاز است. برای مماس در P، خطی از P عمود بر OP رسم کنید. برای هر نقطهٔ دیگر Q روی این خط، مثلث OPQ در P قائم است؛ پس OQ۲=OP۲+PQ۲=r۲+PQ۲>r۲ و Q بیرون دایره است. بنابراین خط فقط در P با دایره اشتراک دارد و مماس است. برعکس اگر خطی در P بر OP عمود نباشد، پای عمود O بر آن نقطه‌ای H≠P است و OH<OP=r؛ پس خط از درون دایره می‌گذرد و دو تقاطع دارد، نه یک تماس.

کاربرد و دام • دایره در مختصات

پایهٔ ۱۲
نکتهٔ ۷

دامی که جواب را عوض می‌کند

اگر r۲<۰ شود دایرهٔ حقیقی نداریم؛ اگر r۲=۰ فقط یک نقطه است، نه دایره با شعاع مثبت.

نمونهٔ کنترل‌شده
x۲+y۲−۴x+۶y−۱۲=۰ → (x−۲)۲+(y+۳)۲=۲۵؛ مرکز (۲,−۳)، شعاع ۵.
نکتهٔ ۸

سنجش ناب

ثابت کن خط ۳x+۴y=۲۵ فقط در (۳,۴) با دایره x۲+y۲=۲۵ اشتراک دارد.

پاسخ تشریحی
از خط y=(۲۵−۳x)/۴. در معادلهٔ دایره جایگذاری می‌کنیم: x۲+(۲۵−۳x)۲/۱۶=۲۵. ضرب در ۱۶ و بسط می‌دهد ۲۵x۲−۱۵۰x+۲۲۵=۰، یعنی ۲۵(x−۳)۲=۰. پس تنها x=۳ و سپس y=۴ است. چون دستگاه فقط یک جواب دارد، خط و دایره فقط در همین نقطه مشترک‌اند و خط مماس است.

درس ۳: بیضی و سهمی

پیش‌نیاز: مکان هندسی، مربع کامل
نکتهٔ ۹

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

بیضی افقی x۲/a۲+y۲/b۲=۱ با a>b>۰، کانون‌های (±c,۰)، c۲=a۲−b۲. سهمی y۲=۴px کانون (p,۰) و هادی x=−p دارد؛ p≠۰.

چرا مهم است؟
در بیضی، a نیم‌محور بزرگ و c فاصلهٔ مرکز تا کانون است؛ b۲=a۲−c۲. در سهمی، |p| فاصلهٔ رأس تا کانون و نیز فاصلهٔ رأس تا خط هادی است؛ علامت p جهت بازشدن سهمی را تعیین می‌کند.
نکتهٔ ۱۰

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

محور تقارن را رسم کن؛ در بیضی کانون‌ها روی محور بزرگ‌اند، در سهمی کانون و هادی در دو سوی رأس‌اند.

دلیل و مسیر برهان
برای بیضی با دو کانون متمایز F۱=(−c,۰)، F۲=(c,۰)، فرض ۰<c<a و r۱+r۲=۲a را بگیرید. از r۱=۲a−r۲ و مربع‌کردن به r۲=a−cx/a می‌رسیم؛ مربع دوم و b۲=a۲−c۲ معادلهٔ x۲/a۲+y۲/b۲=۱ را می‌دهد. در برگشت، |x|≤a و a−cx/a≥a−c>۰ مراحل جذر و مربع را برگشت‌پذیر می‌کند. اگر c=۰ باشد، دو کانون منطبق‌اند و تعریف بیضی مستقیماً دایرهٔ x۲+y۲=a۲ را می‌دهد. برای سهمی نیز برابری فاصله‌ها با کنترل نامنفی بودن دو طرف دقیقاً y۲=۴px می‌دهد.

کاربرد و دام • بیضی و سهمی

پایهٔ ۱۲
نکتهٔ ۱۱

دامی که جواب را عوض می‌کند

c۲=a۲+b۲ برای بیضی غلط است؛ علامت درست c۲=a۲−b۲ و بنابراین c<a. فرمول جمع مربوط به هذلولی است.

نمونهٔ کنترل‌شده
بیضی x۲/۲۵+y۲/۹=۱: a=۵,b=۳,c=۴؛ کانون‌ها (±۴,۰). سهمی y۲=۱۲x: p=۳، کانون (۳,۰)، هادی x=−۳.
نکتهٔ ۱۲

سنجش ناب

برای بیضی x۲/۲۵+y۲/۱۶=۱ ثابت کن هیچ نقطه‌ای با |x|>۵ روی آن نیست و مجموع فاصله‌ها تا (±۳,۰) را بدون اتکا به ظاهر شکل تعیین کن.

پاسخ تشریحی
از معادله x۲/۲۵≤۱، پس |x|≤۵؛ بنابراین عبارت‌های ۵±۳x/۵ مثبت‌اند. محاسبه می‌دهد PF۲۲=(x−۳)۲+y۲=(۵−۳x/۵)۲ و PF۱۲=(x+۳)۲+y۲=(۵+۳x/۵)۲؛ با گرفتن ریشهٔ مثبت، PF۲=۵−۳x/۵ و PF۱=۵+۳x/۵. جمع دقیقاً ۱۰ است.
جمع‌بندی فصل

حالا خودت را بسنج

هر گزاره را با شرط کاربرد و یک دلیل کوتاه برای خودت توضیح بده؛ بعد فقط نکته‌هایی را دوباره بخوان که هنوز در توضیحشان مکث می‌کنی.

□ شرط اصلی «مقاطع مخروطی و مکان هندسی» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.
□ شرط اصلی «دایره در مختصات» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.
□ شرط اصلی «بیضی و سهمی» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.

اگر لازم شد، سریع برگرد

یک یادآوری از رندو

از ظاهر شکل، تساوی یا توازی نتیجه نگیر. دادهٔ صورت سؤال یا قضیه‌ای که شرط‌هایش برقرار است باید هر نتیجه را پشتیبانی کند.

جزوه رایگان و نکات ناب رندو مکس

این صفحه برای جست‌وجوی «جزوه هندسه دوازدهم فصل ۲»، «نکات ناب هندسه» و مرور سریع کنکور و امتحان نهایی آماده شده است.