تصویر هندسی جلد
رندو مکس • رایگان

نکات ناب
هندسه

پایهٔ ۱۲ • فصل ۱: ماتریس و کاربردها

نقشهٔ فصل

فصل ۱: ماتریس و کاربردها

این فصل ۲ درس و ۸ نکتهٔ منتخب دارد. ترتیب زیر کمک می‌کند هر فرمول را همراه شرط و دلیلش مرور کنی.

درس‌های این فصل

  1. ماتریس و اعمال روی آن — پیش‌نیاز: حساب عددی، دستگاه مختصات
  2. دترمینان، وارون و دستگاه — پیش‌نیاز: ماتریس مربعی، دستگاه خطی
بودجه‌بندی پیشنهادی مرور
۵۰ دقیقه
  1. یک دور قضیه‌ها را همراه شرط کاربرد بخوان.
  2. راه‌حل‌ها را با پوشاندن سطر آخر، خودت کامل کن.
  3. دام‌ها را به صورت یک پرسش کوتاه برای خودت بازگو کن.
  4. سنجش‌های ناب را بدون نگاه به پاسخ حل و سپس کنترل کن.
vAv

درس ۱: ماتریس و اعمال روی آن

پیش‌نیاز: حساب عددی، دستگاه مختصات
نکتهٔ ۱

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

A=[aᵢⱼ] از مرتبه m×n است. جمع فقط برای هم‌مرتبه‌ها؛ AB فقط وقتی تعداد ستون‌های A برابر تعداد سطرهای B باشد. عموماً AB≠BA.

چرا مهم است؟
ماتریس آرایش مستطیلی داده‌ها و نیز نمایش یک تبدیل خطی است؛ ترتیب سطر و ستون معنا دارد.
نکتهٔ ۲

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

برای ضرب، دور ابعاد سازگار خط بکش: (m×p)(p×n)→m×n؛ سپس هر درایه را از یک سطر و یک ستون بساز.

دلیل و مسیر برهان
درایهٔ (i,j) حاصل AB ضرب داخلی سطر i از A و ستون j از B است: cᵢⱼ=Σₖaᵢₖbₖⱼ. این تعریف دقیقاً اثر پیاپی دو تبدیل خطی را ثبت می‌کند؛ بنابراین اندازهٔ داخلی باید یکسان باشد و ترتیب اهمیت دارد.

کاربرد و دام • ماتریس و اعمال روی آن

پایهٔ ۱۲
نکتهٔ ۳

دامی که جواب را عوض می‌کند

ضرب درایه‌به‌درایه، ضرب ماتریسی نیست. مثلاً برای A=[[۱،۲]،[۰،۳]] و B=[[۲،−۱]،[۴،۱]]، درایهٔ سطر اول و ستون اولِ AB برابر ۱×۲+۲×۴=۱۰ است، نه ۲.

نمونهٔ کنترل‌شده
A=[[۱,۲],[۰,۳]], B=[[۲,−۱],[۴,۱]]. AB=[[۱۰,۱],[۱۲,۳]]؛ BA=[[۲,۱],[۴,۱۱]]، پس برابر نیستند.
نکتهٔ ۴

سنجش ناب

اگر AX=AY و A وارون‌پذیر باشد، ثابت کن X=Y و با مثال نشان بده حذف وارون‌پذیری نتیجه را خراب می‌کند.

پاسخ تشریحی
چون ابعاد سازگار و A وارون‌پذیر است، از چپ در A⁻۱ ضرب می‌کنیم: A⁻۱(AX)=A⁻۱(AY). شرکت‌پذیری می‌دهد (A⁻۱A)X=(A⁻۱A)Y، پس IX=IY و X=Y. اگر A ماتریس صفر باشد، برای هر دو ماتریس هم‌مرتبهٔ نابرابر X و Y داریم AX=۰=AY؛ پس شرط وارون‌پذیری واقعاً لازم است.

درس ۲: دترمینان، وارون و دستگاه

پیش‌نیاز: ماتریس مربعی، دستگاه خطی
نکتهٔ ۵

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

برای A=[[a,b],[c,d]]، detA=ad−bc و A⁻۱=(۱/detA)[[d,−b],[−c,a]] فقط اگر detA≠۰.

چرا مهم است؟
دترمینان مساحت جهت‌دار را می‌سنجد. برای یک ماتریس ۲×۲، دترمینان صفر یعنی تصویر کل صفحه بُعدش کاهش می‌یابد: ماتریس ناصفرِ رتبهٔ یک آن را روی خطی گذرنده از مبدأ می‌برد و ماتریس صفر همهٔ صفحه را به نقطهٔ مبدأ می‌فرستد؛ در هر دو حالت وارون وجود ندارد.
نکتهٔ ۶

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

برای حل AX=B، ابتدا detA را کنترل کن؛ فقط در حالت ناصفر X=A⁻۱B مجاز است.

دلیل و مسیر برهان
ضرب مستقیم A در ماتریس الحاقی [[d,−b],[−c,a]] برابر [[ad−bc,۰],[۰,ad−bc]]=det(A)I است. اگر detA≠۰، تقسیم بر آن مجاز است و فرمول وارون به دست می‌آید. برای جهت عکس، اگر A وارون داشت، از خاصیت det(A·A⁻۱)=detA·det(A⁻۱) و A·A⁻۱=I نتیجه می‌شد detA·det(A⁻۱)=detI=۱؛ پس detA نمی‌توانست صفر باشد. بنابراین detA=۰ وجود هر وارونی را ناممکن می‌کند، نه فقط فرمول بالا را.

کاربرد و دام • دترمینان، وارون و دستگاه

پایهٔ ۱۲
نکتهٔ ۷

دامی که جواب را عوض می‌کند

تقسیم بر det=۰ ممنوع است. ماتریس [[۱,۲],[۲,۴]] دترمینان صفر دارد و دستگاه بسته به B بی‌جواب یا بی‌شمار جواب است.

نمونهٔ کنترل‌شده
دستگاه ۲x+y=۵، x−y=۱: A=[[۲,۱],[۱,−۱]], det=−۳. حل حذف یا وارون می‌دهد x=۲,y=۱؛ جایگذاری هر دو معادله را تأیید می‌کند.
نکتهٔ ۸

سنجش ناب

دستگاه mx+۲y=۱ و ۳x+۶y=k را برحسب m و k از نظر تعداد جواب طبقه‌بندی کن.

پاسخ تشریحی
دترمینان ۶m−۶ است. اگر m≠۱، دترمینان ناصفر و برای هر k دقیقاً یک جواب داریم. اگر m=۱، سمت چپ معادلهٔ دوم سه برابر سمت چپ اول است: برای k=۳ دو معادله هم‌ارز و بی‌شمار جواب؛ برای k≠۳ ناسازگار و بی‌جواب. این طبقه‌بندی حالت دترمینان صفر را نیز کامل می‌کند.
جمع‌بندی فصل

حالا خودت را بسنج

هر گزاره را با شرط کاربرد و یک دلیل کوتاه برای خودت توضیح بده؛ بعد فقط نکته‌هایی را دوباره بخوان که هنوز در توضیحشان مکث می‌کنی.

□ شرط اصلی «ماتریس و اعمال روی آن» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.
□ شرط اصلی «دترمینان، وارون و دستگاه» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.

اگر لازم شد، سریع برگرد

یک یادآوری از رندو

از ظاهر شکل، تساوی یا توازی نتیجه نگیر. دادهٔ صورت سؤال یا قضیه‌ای که شرط‌هایش برقرار است باید هر نتیجه را پشتیبانی کند.

جزوه رایگان و نکات ناب رندو مکس

این صفحه برای جست‌وجوی «جزوه هندسه دوازدهم فصل ۱»، «نکات ناب هندسه» و مرور سریع کنکور و امتحان نهایی آماده شده است.