تصویر هندسی جلد
رندو مکس • رایگان

نکات ناب
هندسه

پایهٔ ۱۱ • فصل ۳: روابط طولی در مثلث

نقشهٔ فصل

فصل ۳: روابط طولی در مثلث

این فصل ۴ درس و ۱۶ نکتهٔ منتخب دارد. ترتیب زیر کمک می‌کند هر فرمول را همراه شرط و دلیلش مرور کنی.

درس‌های این فصل

  1. قضیهٔ سینوس‌ها — پیش‌نیاز: سینوس، ارتفاع، مساحت
  2. قضیهٔ کسینوس‌ها — پیش‌نیاز: فیثاغورس، کسینوس
  3. نیمساز و طول نیمساز — پیش‌نیاز: تالس، نسبت، کسینوس
  4. ارتفاع‌ها و فرمول هرون — پیش‌نیاز: مساحت، رادیکال، نیم‌محیط
ادامهٔ نقشهٔ فصل

فصل ۳: روابط طولی در مثلث

بودجه‌بندی پیشنهادی مرور
۱۰۰ دقیقه
  1. یک دور قضیه‌ها را همراه شرط کاربرد بخوان.
  2. راه‌حل‌ها را با پوشاندن سطر آخر، خودت کامل کن.
  3. دام‌ها را به صورت یک پرسش کوتاه برای خودت بازگو کن.
  4. سنجش‌های ناب را بدون نگاه به پاسخ حل و سپس کنترل کن.
ABCD

درس ۱: قضیهٔ سینوس‌ها

پیش‌نیاز: سینوس، ارتفاع، مساحت
نکتهٔ ۱

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

در △ABC با اضلاع روبه‌رو a,b,c و شعاع محیطی R: a/sin A=b/sin B=c/sin C=۲R.

چرا مهم است؟
هر ضلع با سینوس زاویهٔ روبه‌رو هم‌مقیاس است؛ دایرهٔ محیطی این نسبت را به قطر پیوند می‌دهد.
نکتهٔ ۲

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

اگر یک ضلع و زاویهٔ روبه‌رویش را داری، نسبت‌های سینوسی را متناظر بچین؛ در داده‌های دو ضلع و زاویهٔ غیرِبین، امکان تشکیل دو مثلث را جدا بررسی کن.

دلیل و مسیر برهان
ارتفاع از C بر AB برابر b sin A و نیز a sin B است؛ پس b sin A=a sin B و با تقسیم بر sinA·sinB که در مثلث غیرتباه مثبت است، a/sinA=b/sinB. چرخه‌کردن نام رأس‌ها نسبت سوم را می‌دهد. برای پیوند با R، نخست حالت A=۹۰° را جدا کنید: طبق عکس قضیهٔ تالس، BC قطر دایرهٔ محیطی است؛ پس a=BC=۲R و چون sinA=۱، داریم a/sinA=۲R. اکنون A≠۹۰° است؛ قطر گذرنده از B دایره را بار دوم در D≠C قطع می‌کند. زاویهٔ BCD قائم است چون روبه‌روی قطر است، و ∠BDC و ∠BAC یک وتر BC را می‌بینند؛ اگر در دو سوی وتر باشند مکمل‌اند و سینوس برابر دارند. در مثلث قائم BCD، sinA=sin∠BDC=BC/BD=a/(۲R)، پس a/sinA=۲R.

کاربرد و دام • قضیهٔ سینوس‌ها

پایهٔ ۱۱
نکتهٔ ۳

دامی که جواب را عوض می‌کند

از sin۳۰=sin۱۵۰ نمی‌توان زاویه را یکتا دانست؛ در حالت دو ضلع و زاویهٔ غیرِبین ممکن است دو پاسخ هندسی معتبر ساخته شود.

نمونهٔ کنترل‌شده
A=۳۰°، B=۴۵°، a=۶؛ b/sin۴۵=۶/sin۳۰=۱۲، پس b=۶√۲.
نکتهٔ ۴

سنجش ناب

a=۷,b=۱۰,A=۳۰°؛ تعداد حالت B را بررسی کن.

پاسخ تشریحی
داریم sinB=b sinA/a=۵/۷. یک جواب B۱ در بازهٔ تند و جواب دیگر B۲=۱۸۰°−B۱ است. چون ۵/۷>sin۳۰° و B۱ تند است، B۱>۳۰°؛ پس A+B۲=۳۰°+۱۸۰°−B۱<۱۸۰° و هر دو زاویهٔ B۱ و B۲ مثلث معتبر می‌سازند. بنابراین دقیقاً دو مثلث داریم.

درس ۲: قضیهٔ کسینوس‌ها

پیش‌نیاز: فیثاغورس، کسینوس
نکتهٔ ۵

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

a۲=b۲+c۲−۲bc cos A. اگر A=۹۰°، cosA=۰ و فیثاغورس حاصل می‌شود.

چرا مهم است؟
قضیهٔ کسینوس فیثاغورس را برای زاویهٔ غیرقائم با جملهٔ اصلاحی گسترش می‌دهد.
نکتهٔ ۶

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

برای طول ضلع سوم، از رأس مقابل بر یکی از دو ضلع معلوم ارتفاع بکش؛ زاویهٔ داده‌شده باید زاویهٔ میان همان دو ضلع باشد.

دلیل و مسیر برهان
برای A تند، از C بر AB عمود کنید و پای آن را H بگیرید. تصویر جهت‌دار AC روی AB برابر AH=b cosA و CH=b sinA است. از فیثاغورس در BCH: a۲=BH۲+CH۲=(c−b cosA)۲+(b sinA)۲=c۲−۲bc cosA+b۲. اگر A منفرجه باشد، H روی امتداد AB قرار می‌گیرد و cosA<۰؛ همان طول جهت‌دار AH=b cosA منفی است و عبارت c−b cosA فاصلهٔ درست BH را می‌دهد. برای A=۹۰° نیز cosA=۰؛ پس فرمول در هر سه حالت معتبر است.

کاربرد و دام • قضیهٔ کسینوس‌ها

پایهٔ ۱۱
نکتهٔ ۷

دامی که جواب را عوض می‌کند

اگر زاویهٔ داده‌شده بین دو ضلع نیست، همان دو ضلع را مستقیم در جملهٔ −۲bc ضرب نکن.

نمونهٔ کنترل‌شده
b=۵,c=۷,A=۶۰°: a۲=۲۵+۴۹−۷۰×۱/۲=۳۹؛ a=√۳۹.
نکتهٔ ۸

سنجش ناب

ثابت کن اگر a۲>b۲+c۲، آنگاه A منفرجه است و عکس آن را هم ثابت کن.

پاسخ تشریحی
از کسینوس‌ها، a۲−b۲−c۲=−۲bc cosA. اگر سمت چپ مثبت باشد و b,c>۰، آنگاه cosA<۰؛ چون ۰°<A<۱۸۰°، نتیجه ۹۰°<A<۱۸۰° است. برعکس اگر A منفرجه باشد، cosA<۰ و بنابراین −۲bc cosA>۰؛ پس a۲=b۲+c۲−۲bc cosA>b۲+c۲. هر دو جهت به مثبت بودن طول‌ها تکیه دارند.

درس ۳: نیمساز و طول نیمساز

پیش‌نیاز: تالس، نسبت، کسینوس
نکتهٔ ۹

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

اگر AD نیمساز A در △ABC باشد، BD/DC=AB/AC. طول نیمساز: AD۲=bc−BD·DC، با قرارداد b=AC,c=AB.

چرا مهم است؟
نیمساز داخلی ضلع مقابل را متناسب با دو ضلع مجاور تقسیم می‌کند.
نکتهٔ ۱۰

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

برای تبدیل نیمساز به نسبت، موازی با نیمساز بساز؛ برای طول، امتداد نیمساز تا دایرهٔ محیطی، یک تشابه و رابطهٔ حاصل‌ضرب وترهای متقاطع را در دسترس می‌گذارد.

دلیل و مسیر برهان
برای قضیهٔ نیمساز، از C خط CE را موازی AD رسم کنید تا امتداد BA را در E قطع کند. توازی و نیمساز بودن می‌دهد ∠ACE=∠CEA، پس AE=AC؛ تالس در مثلث BCE نتیجه می‌دهد BD/DC=BA/AE=AB/AC. برای طول نیمساز، ساخت تازه‌ای انجام بده: نیم‌خط AD دایرهٔ محیطی را بار دوم در F قطع کند. از ∠FAC=∠BAD و ∠AFC=∠ABC، مثلث‌های AFC و ABD مشابه‌اند؛ پس AB·AC=AD·AF. چون ترتیب A,D,F برقرار است، AF=AD+DF و از وترهای متقاطع AD·DF=BD·DC. بنابراین AB·AC=AD۲+BD·DC و AD۲=AB·AC−BD·DC. نام F مانع اشتباه گرفتن این برخورد با نقطهٔ E در ساخت موازی می‌شود.

کاربرد و دام • نیمساز و طول نیمساز

پایهٔ ۱۱
نکتهٔ ۱۱

دامی که جواب را عوض می‌کند

نیمساز الزاماً میانه نیست؛ فقط در مثلث متساوی‌الساقینِ مربوط، نسبت ضلع‌های مجاور ۱ است.

نمونهٔ کنترل‌شده
AB=۶، AC=۹، BC=۱۰؛ BD:DC=۲:۳، پس BD=۴ و DC=۶؛ AD۲=۵۴−۲۴=۳۰، AD=√۳۰.
نکتهٔ ۱۲

سنجش ناب

ثابت کن نیمساز داخلی دقیقاً زمانی میانه است که دو ضلع مجاور زاویه برابر باشند؛ هر دو جهت را جدا بنویس.

پاسخ تشریحی
اگر AD میانه باشد، BD=DC؛ قضیهٔ نیمساز می‌دهد AB/AC=BD/DC=۱، پس AB=AC. برعکس اگر AB=AC، همان قضیه می‌دهد BD/DC=۱، پس BD=DC و AD میانه است. مثبت بودن طول‌ها تقسیم‌ها را مجاز می‌کند.

درس ۴: ارتفاع‌ها و فرمول هرون

پیش‌نیاز: مساحت، رادیکال، نیم‌محیط
نکتهٔ ۱۳

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

برای اضلاع a,b,c و s=(a+b+c)/۲، مساحت K=√[s(s−a)(s−b)(s−c)]، به شرط نامساوی‌های سخت مثلث.

چرا مهم است؟
هرون مساحت را فقط از سه ضلع می‌دهد؛ شرط وجود مثلث و مثبت بودن عوامل ضروری است.
نکتهٔ ۱۴

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

اگر ارتفاع ساده نیست، سه ضلع را به هرون بده؛ پیش از رادیکال، نامساوی مثلث را کنترل کن.

دلیل و مسیر برهان
از K=½bc sinA و cosA=(b۲+c۲−a۲)/(۲bc)، داریم ۱۶K۲=۴b۲c۲−(b۲+c۲−a۲)۲. این تفاضل مربع‌هاست: [۲bc−(b۲+c۲−a۲)][۲bc+(b۲+c۲−a۲)]. عامل اول a۲−(b−c)۲=(a−b+c)(a+b−c) و عامل دوم (b+c)۲−a۲=(−a+b+c)(a+b+c) است. پس ۱۶K۲=(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c). با s=(a+b+c)/۲، چهار عامل به‌ترتیب ۲s،۲(s−a)،۲(s−b)،۲(s−c) هستند؛ بنابراین K۲=s(s−a)(s−b)(s−c). نامساوی‌های سخت مثلث همهٔ عوامل را مثبت می‌کنند و چون K>۰، ریشهٔ مثبت گرفته می‌شود.

کاربرد و دام • ارتفاع‌ها و فرمول هرون

پایهٔ ۱۱
نکتهٔ ۱۵

دامی که جواب را عوض می‌کند

برای اضلاع ۲،۳،۵ فرمول عدد صفر می‌دهد، اما این مثلث واقعی نیست؛ نامساوی باید سخت باشد: ۲+۳>۵ برقرار نیست.

نمونهٔ کنترل‌شده
اضلاع ۵،۵،۶: s=۸ و K=√(۸×۳×۳×۲)=۱۲.
نکتهٔ ۱۶

سنجش ناب

با استفاده از مساحت و طول‌های مماس ثابت کن شعاع دایرهٔ محاطی هر مثلث r=K/s است، سپس برای مثلث ۱۳،۱۴،۱۵ آن را بیاب.

پاسخ تشریحی
مرکز دایرهٔ محاطی را I بگیرید و I را به سه رأس A، B و C وصل کنید. سه مثلث IBC، ICA و IAB با قاعده‌های a، b و c ساخته می‌شوند. شعاع‌های عمود از I بر ضلع‌ها، ارتفاع این سه مثلث‌اند و هر سه طول r دارند؛ پس K=ra/۲+rb/۲+rc/۲=r(a+b+c)/۲=rs. بنابراین r=K/s. برای اضلاع ۱۳،۱۴،۱۵، K=۸۴ و s=۲۱؛ پس r=۴.
جمع‌بندی فصل

حالا خودت را بسنج

هر گزاره را با شرط کاربرد و یک دلیل کوتاه برای خودت توضیح بده؛ بعد فقط نکته‌هایی را دوباره بخوان که هنوز در توضیحشان مکث می‌کنی.

□ شرط اصلی «قضیهٔ سینوس‌ها» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.
□ شرط اصلی «قضیهٔ کسینوس‌ها» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.
□ شرط اصلی «نیمساز و طول نیمساز» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.
□ شرط اصلی «ارتفاع‌ها و فرمول هرون» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.

اگر لازم شد، سریع برگرد

یک یادآوری از رندو

از ظاهر شکل، تساوی یا توازی نتیجه نگیر. دادهٔ صورت سؤال یا قضیه‌ای که شرط‌هایش برقرار است باید هر نتیجه را پشتیبانی کند.

جزوه رایگان و نکات ناب رندو مکس

این صفحه برای جست‌وجوی «جزوه هندسه یازدهم فصل ۳»، «نکات ناب هندسه» و مرور سریع کنکور و امتحان نهایی آماده شده است.