تصویر هندسی جلد
رندو مکس • رایگان

نکات ناب
هندسه

پایهٔ ۱۱ • فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها

نقشهٔ فصل

فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها

این فصل ۲ درس و ۸ نکتهٔ منتخب دارد. ترتیب زیر کمک می‌کند هر فرمول را همراه شرط و دلیلش مرور کنی.

درس‌های این فصل

  1. تبدیل‌های هندسی — پیش‌نیاز: مختصات، بردار، فاصله
  2. کاربرد تبدیل‌ها — پیش‌نیاز: تبدیل‌های هم‌فاصله، تقارن
بودجه‌بندی پیشنهادی مرور
۵۰ دقیقه
  1. یک دور قضیه‌ها را همراه شرط کاربرد بخوان.
  2. راه‌حل‌ها را با پوشاندن سطر آخر، خودت کامل کن.
  3. دام‌ها را به صورت یک پرسش کوتاه برای خودت بازگو کن.
  4. سنجش‌های ناب را بدون نگاه به پاسخ حل و سپس کنترل کن.
PP′ℓ

درس ۱: تبدیل‌های هندسی

پیش‌نیاز: مختصات، بردار، فاصله
نکتهٔ ۱

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

انتقال با بردار (a,b): (x,y)↦(x+a,y+b). بازتاب نسبت به محور x: (x,y)↦(x,−y). دوران ۹۰° پادساعتگرد حول مبدأ: (x,y)↦(−y,x). در تجانس با مرکز O و ضریب حقیقی k≠۰، طول هر پاره‌خط در |k| ضرب می‌شود؛ k>۰ تصویر را روی همان نیم‌خط و k<۰ در سوی دیگر O می‌گذارد.

چرا مهم است؟
تبدیل هر نقطه را به یک نقطه می‌فرستد؛ انتقال، دوران و بازتاب فاصله و زاویه را حفظ می‌کنند.
نکتهٔ ۲

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

مرکز تبدیل را به نقطه و تصویرش وصل کن؛ در دوران طول‌ها برابر و زاویه ثابت، در تجانس سه نقطه هم‌خط‌اند.

دلیل و مسیر برهان
در دوران ۹۰° پادساعتگرد، نیم‌محور مثبت x بر نیم‌محور مثبت y و نیم‌محور مثبت y بر نیم‌محور منفی x می‌افتد؛ بنابراین مؤلفه‌های (x,y) به (−y,x) تبدیل می‌شوند. این قاعده را بدون ابزار سال بعد کنترل می‌کنیم: اگر P≠O و P′=(−y,x)، آنگاه OP۲=x۲+y۲ و OP′۲=(−y)۲+x۲، پس OP=OP′. همچنین PP′۲=(x+y)۲+(x−y)۲=۲(x۲+y۲)=OP۲+OP′۲؛ عکس فیثاغورس می‌دهد ∠POP′=۹۰°. جهت پادساعتگرد از تصویر جهت‌دار دو نیم‌محور در آغاز ساخت تعیین شده است. اگر P=O، تصویر خود O است و زاویهٔ جهت تعریف نمی‌شود؛ این حالت جداگانه ثابت است.

کاربرد و دام • تبدیل‌های هندسی

پایهٔ ۱۱
نکتهٔ ۳

دامی که جواب را عوض می‌کند

ترکیب تبدیل‌ها معمولاً جابه‌جاپذیر نیست: انتقال سپس بازتاب با بازتاب سپس انتقال یکسان نمی‌شود؛ P=(۰,۰)، انتقال عمودی ۱ و بازتاب x مثال نقض است.

نمونهٔ کنترل‌شده
P=(۲,−۱). انتقال (۳,۴) آن را (۵,۳) می‌کند؛ سپس بازتاب نسبت به x، (۵,−۳). ترتیب مهم است.
نکتهٔ ۴

سنجش ناب

دو خط موازی ℓ۱ و ℓ۲ با فاصلهٔ d داریم. ابتدا بازتاب نسبت به ℓ۱ و سپس بازتاب نسبت به ℓ۲ را اجرا می‌کنیم. تبدیل حاصل چیست؟ با مختصات ثابت کن و جهت را از ℓ۱ به ℓ۲ تعیین کن.

پاسخ تشریحی
با یک تبدیل هم‌فاصله، خط اول را y=۰ و خط دوم را y=d بگیرید. بازتاب اول (x,y) را به (x,−y) می‌برد؛ بازتاب دوم نسبت به y=d آن را به (x,۲d−(−y))=(x,y+۲d) می‌برد. پس ترکیب انتقال با بردار (۰,۲d)، عمود بر دو خط و از خط اول به دوم است. اگر ترتیب بازتاب‌ها عوض شود، بردار (۰,−۲d) می‌شود.

درس ۲: کاربرد تبدیل‌ها

پیش‌نیاز: تبدیل‌های هم‌فاصله، تقارن
نکتهٔ ۵

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

اگر A و B در یک سوی خط ℓ باشند، کوتاه‌ترین مسیر از A به نقطه‌ای P روی ℓ و سپس B با بازتاب B به B′ به دست می‌آید: کمینهٔ AP+PB برابر AB′ است.

چرا مهم است؟
بازتاب مسیر شکسته را به خط راست تبدیل می‌کند؛ این ابزار، کوتاه‌ترین مسیر و هم‌نهشتی را روشن می‌سازد.
نکتهٔ ۶

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

وقتی مجموع دو فاصله با نقطهٔ متحرک روی خط می‌بینی، یکی از نقاط را نسبت به خط بازتاب بده.

دلیل و مسیر برهان
B′ را بازتاب B نسبت به ℓ بگیرید. برای هر P روی ℓ، خط ℓ عمودمنصف BB′ است و بنابراین PB=PB′. پس AP+PB=AP+PB′≥AB′ بنا بر نابرابری مثلث. چون A و B در یک سوی ℓ و B′ در سوی دیگر است، پاره‌خط AB′ دقیقاً یک بار ℓ را قطع می‌کند؛ آن نقطه را P۰ بنامید. در P۰ سه نقطه A,P۰,B′ هم‌خط و P۰ میان آن‌ها هستند، پس برابری رخ می‌دهد. در هر نقطهٔ دیگر نامساوی سخت است؛ بنابراین P۰ وجود دارد و یکتاست.

کاربرد و دام • کاربرد تبدیل‌ها

پایهٔ ۱۱
نکتهٔ ۷

دامی که جواب را عوض می‌کند

نزدیک‌ترین نقطه از روی شکل قابل انتخاب نیست؛ باید نابرابری مثلث و شرط برابری را به کار برد.

نمونهٔ کنترل‌شده
A و B در یک سوی خط‌اند. B′ را بازتاب بده و محل تقاطع AB′ با خط را P بگیر؛ این P مسیر APB را کمینه می‌کند.
نکتهٔ ۸

سنجش ناب

ابتدا دوران ۱۸۰° با مرکز O۱ و سپس دوران ۱۸۰° با مرکز O۲ را اجرا می‌کنیم. تبدیل حاصل را توصیف کن و حالت هم‌مرکز را نیز بررسی کن.

پاسخ تشریحی
دوران نیم‌دور حول O۱ نقطهٔ X را به X′=۲O۱−X می‌برد، چون O۱ وسط XX′ است. نیم‌دور دوم می‌دهد X″=۲O۲−X′=X+۲(O۲−O۱). این اختلاف برای همهٔ X ثابت است؛ پس ترکیب انتقال با بردار ۲O۱O۲ است. اگر O۱=O۲، بردار صفر و ترکیب تبدیل همانی می‌شود.
جمع‌بندی فصل

حالا خودت را بسنج

هر گزاره را با شرط کاربرد و یک دلیل کوتاه برای خودت توضیح بده؛ بعد فقط نکته‌هایی را دوباره بخوان که هنوز در توضیحشان مکث می‌کنی.

□ شرط اصلی «تبدیل‌های هندسی» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.
□ شرط اصلی «کاربرد تبدیل‌ها» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.

اگر لازم شد، سریع برگرد

یک یادآوری از رندو

از ظاهر شکل، تساوی یا توازی نتیجه نگیر. دادهٔ صورت سؤال یا قضیه‌ای که شرط‌هایش برقرار است باید هر نتیجه را پشتیبانی کند.

جزوه رایگان و نکات ناب رندو مکس

این صفحه برای جست‌وجوی «جزوه هندسه یازدهم فصل ۲»، «نکات ناب هندسه» و مرور سریع کنکور و امتحان نهایی آماده شده است.