تصویر هندسی جلد
رندو مکس • رایگان

نکات ناب
هندسه

پایهٔ ۱۱ • فصل ۱: دایره

نقشهٔ فصل

فصل ۱: دایره

این فصل ۳ درس و ۱۲ نکتهٔ منتخب دارد. ترتیب زیر کمک می‌کند هر فرمول را همراه شرط و دلیلش مرور کنی.

درس‌های این فصل

  1. مفاهیم اولیه و زاویه‌ها — پیش‌نیاز: دایره، زاویه، مثلث متساوی‌الساقین
  2. روابط طولی در دایره — پیش‌نیاز: تشابه، ضرب طول‌ها
  3. چندضلعی‌های محاطی و محیطی — پیش‌نیاز: زاویهٔ محاطی، مماس
بودجه‌بندی پیشنهادی مرور
۷۵ دقیقه
  1. یک دور قضیه‌ها را همراه شرط کاربرد بخوان.
  2. راه‌حل‌ها را با پوشاندن سطر آخر، خودت کامل کن.
  3. دام‌ها را به صورت یک پرسش کوتاه برای خودت بازگو کن.
  4. سنجش‌های ناب را بدون نگاه به پاسخ حل و سپس کنترل کن.
ABOP

درس ۱: مفاهیم اولیه و زاویه‌ها

پیش‌نیاز: دایره، زاویه، مثلث متساوی‌الساقین
نکتهٔ ۱

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

برای دو نقطهٔ متمایز A و B روی دایره و رأس P متفاوت از آن‌ها، زاویهٔ محاطی APB برابر نصف کمان AB است که P روی آن نیست. زاویهٔ میان یک نیم‌خط مماس در A و وتر AB نیز نصف کمان متناظر همان زاویه است. شعاع OA در نقطهٔ تماس بر مماس عمود است.

چرا مهم است؟
زاویهٔ مرکزی کمان را مستقیم می‌بیند؛ زاویهٔ محاطی همان کمان را از محیط و با اندازهٔ نصف می‌بیند.

ادامهٔ درس ۱: مفاهیم اولیه و زاویه‌ها

برهان و مسیر حل
نکتهٔ ۲

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

در مسائل زاویه‌ای، مرکز را به نقاط روی دایره وصل کن؛ شعاع‌های برابر مثلث متساوی‌الساقین می‌سازند.

دلیل و مسیر برهان
ابتدا P را روی کمان بزرگ AB بگیرید. اگر O داخل زاویهٔ APB باشد، خط PO را امتداد دهید تا دایره را در Q ببرد. در مثلث متساوی‌الساقین AOP، زاویهٔ خارجی ∠AOQ برابر ۲∠APO است؛ زیرا OA=OP و دو زاویهٔ قاعده برابرند. به همین دلیل ∠QOB=۲∠OPB. با جمع دو تساوی، ∠AOB=۲∠APB. اگر O بیرون زاویه باشد، همین دو رابطه با تفاضل به نتیجه می‌رسند. حالت مرزی را جدا ببینید: اگر O روی نیم‌خط PA باشد، A،O،P هم‌خط و AP قطر است. در مثلث متساوی‌الساقین OPB، اگر ∠OPB=β باشد، ∠POB=۱۸۰°−۲β؛ از آنجا که OA و OP دو نیم‌خط مخالف‌اند، ∠AOB=۱۸۰°−∠POB=۲β=۲∠APB. برای O روی نیم‌خط PB نیز استدلال متقارن است. اگر P روی کمان کوچک AB باشد، کمان روبه‌روی زاویه کمان بزرگ است؛ با کم‌کردن اندازهٔ کمان کوچک از ۳۶۰°، قاعدهٔ «نصف کمان روبه‌رو» همچنان برقرار است.

کاربرد و دام • مفاهیم اولیه و زاویه‌ها

پایهٔ ۱۱
نکتهٔ ۳

دامی که جواب را عوض می‌کند

«همهٔ زاویه‌های محاطی روی وتر AB برابرند» بدون تعیین سوی وتر غلط است؛ رأس‌ها در دو سوی وتر زاویه‌های مکمل می‌سازند.

نمونهٔ کنترل‌شده
اگر کمان AB برابر ۱۲۰° باشد، هر زاویهٔ محاطی که کمان کوچک AB را ببیند ۶۰° است. اگر رأس روی کمان کوچک باشد، کمان بزرگ ۲۴۰° را می‌بیند و زاویه ۱۲۰° می‌شود.
نکتهٔ ۴

سنجش ناب

در A، نیم‌خط مماس AT را طوری برگزین که کمان کوچک AB داخل زاویهٔ TAB قرار گیرد. ثابت کن ∠TAB با زاویهٔ محاطیِ روبه‌روی همان کمان برابر است و حالت نیم‌خط مخالف را توضیح بده.

پاسخ تشریحی
شعاع OA بر نیم‌خط مماس AT عمود است. اگر اندازهٔ کمان کوچک AB و زاویهٔ مرکزی متناظر ∠AOB برابر θ باشد، در مثلث متساوی‌الساقین AOB هر زاویهٔ قاعده (۱۸۰°−θ)/۲ است. با انتخاب گفته‌شده برای AT، ∠TAB=۹۰°−(۱۸۰°−θ)/۲=θ/۲. زاویهٔ محاطی که رأسش روی کمان بزرگ AB است نیز همین کمان کوچک را می‌بیند و طبق قضیهٔ ثابت‌شده θ/۲ است. نیم‌خط مخالفِ مماس زاویهٔ مکمل می‌سازد؛ کمان متناظر آن کمان بزرگ با اندازهٔ ۳۶۰°−θ است و نصف آن ۱۸۰°−θ/۲، برابر همان زاویهٔ مکمل است.

درس ۲: روابط طولی در دایره

پیش‌نیاز: تشابه، ضرب طول‌ها
نکتهٔ ۵

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

اگر M داخل دایره و میان A و B و نیز میان C و D باشد، یا M بیرون دایره و ترتیب نقاط روی دو قاطع M-A-B و M-C-D باشد، در هر دو حالت MA·MB=MC·MD. اگر M بیرون دایره باشد، MT مماس و خط MAB قاطع با ترتیب M-A-B باشد، آنگاه MT۲=MA·MB.

چرا مهم است؟
توان نقطه یک عدد ثابت برای همهٔ قاطع‌های گذرنده از همان نقطه است.
نکتهٔ ۶

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

برای رابطهٔ ضربی، دو وتر/قاطع را با اتصال ضربدری سرها به دو مثلث تبدیل کن.

دلیل و مسیر برهان
دو حالت را جدا کن. اگر M داخل دایره باشد، پس از وصل A به D و B به C، زاویه‌های رأس M متقابل‌اند و دو زاویهٔ محاطی روبه‌روی یک کمان برابرند؛ پس مثلث‌های MAD و MCB مشابه‌اند. اگر M بیرون باشد و ترتیب‌ها M-A-B و M-C-D باشد، زاویهٔ M در دو مثلث مشترک است و زاویه‌های دیگر مکملِ دو زاویهٔ محاطیِ برابرند؛ باز همان تشابه به دست می‌آید. در هر دو حالت MA/MC=MD/MB و بنابراین MA·MB=MC·MD. برای مماس، قضیهٔ زاویهٔ مماس و وتر تشابه متناظر را می‌سازد.

کاربرد و دام • روابط طولی در دایره

پایهٔ ۱۱
نکتهٔ ۷

دامی که جواب را عوض می‌کند

در قاطع، طول بیرونی را با قطعهٔ داخلی اشتباه نگیر: MB طول کامل تا تقاطع دوم است. اگر بیرونی ۳ و داخلی ۹ باشد، کامل ۱۲ است.

نمونهٔ کنترل‌شده
از M بیرون دایره، MA=۳ و MB=۱۲؛ طول مماس MT=√۳۶=۶.
نکتهٔ ۸

سنجش ناب

بدون استفاده از فرمول توان نقطه ثابت کن دو مماس MA و MB از نقطهٔ بیرونی M برابرند و OM نیمساز زاویهٔ AMB است.

پاسخ تشریحی
OA⊥MA و OB⊥MB، پس OAM و OBM قائم‌اند. وتر OM مشترک و OA=OB شعاع‌اند؛ دو مثلث به حالت وترـضلع هم‌نهشت‌اند. بنابراین MA=MB و ∠AMO=∠OMB؛ پس OM نیمساز است.

درس ۳: چندضلعی‌های محاطی و محیطی

پیش‌نیاز: زاویهٔ محاطی، مماس
نکتهٔ ۹

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

برای چهارضلعی محدب ABCD با رأس‌های نوشته‌شده به ترتیب پیرامون شکل: محاطی بودن دقیقاً معادل مکمل بودن زاویه‌های مقابل است. محیطی بودن نیز دقیقاً معادل AB+CD=BC+AD است.

چرا مهم است؟
چهارضلعی محاطی رأس‌هایش روی دایره است؛ چهارضلعی محیطی ضلع‌هایش بر یک دایره مماس‌اند.

ادامهٔ درس ۳: چندضلعی‌های محاطی و محیطی

برهان و مسیر حل
نکتهٔ ۱۰

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

برای محیطی، شعاع‌ها را به نقاط تماس وصل کن؛ برای محاطی، کمان‌های روبه‌روی زاویه‌های مقابل را علامت بزن.

دلیل و مسیر برهان
در جهت مستقیمِ محاطی، دو زاویهٔ مقابل نصف دو کمان مکمل کل دایره‌اند؛ پس مجموعشان ۱۸۰° است. در جهت عکس، دایرهٔ گذرنده از B,C,D را با خط AD قطع کن؛ شرط مکمل بودن، تقاطع دوم را ناچار بر A منطبق می‌کند. برای محیطی، برابری دو مماس از هر رأس جمع ضلع‌های مقابل را برابر می‌کند. در عکس، تقاطع نیمسازهای داخلی زاویه‌های B و C را I بنام. چون I از خط‌های AB و BC و نیز از خط‌های BC و CD فاصله‌های برابر دارد، دایرهٔ مرکز I و شعاع فاصلهٔ I تا BC بر سه خط AB،BC،CD مماس است. از A مماس دیگری بر این دایره رسم کن تا خط CD را در E قطع کند؛ برابری قطعات مماس و شرط AB+CD=BC+AD ناچار E=D می‌دهد. پس همان خط AD بر دایره مماس و چهارضلعی محیطی است.

کاربرد و دام • چندضلعی‌های محاطی و محیطی

پایهٔ ۱۱
نکتهٔ ۱۱

دامی که جواب را عوض می‌کند

عکس دو قضیه فقط با فرض چهارضلعی محدب و ترتیب درست رأس‌ها به کار می‌رود. برابری جمع چهار عددِ بدون تعیین ضلع‌های مقابل، یا شکلی خودمتقاطع، مجوز نتیجه‌گیری محاطی یا محیطی نیست.

نمونهٔ کنترل‌شده
در چهارضلعی محاطی اگر ∠A=۷۲°، آنگاه ∠C=۱۰۸°. در محیطی با اضلاع پیاپی ۴،۷،۶,x داریم ۴+۶=۷+x، پس x=۳.
نکتهٔ ۱۲

سنجش ناب

بدون استفاده از عکس قضیهٔ چهارضلعی محاطی ثابت کن هر مستطیل محاطی است و مرکز دایره را تعیین کن.

پاسخ تشریحی
در مستطیل ABCD، قطرها برابرند و یکدیگر را در O نصف می‌کنند. پس OA=OC=AC/۲ و OB=OD=BD/۲؛ چون AC=BD، چهار فاصلهٔ OA,OB,OC,OD برابرند. بنابراین دایرهٔ مرکز O و شعاع OA از هر چهار رأس می‌گذرد. مرکز، محل تقاطع قطرهاست.
جمع‌بندی فصل

حالا خودت را بسنج

هر گزاره را با شرط کاربرد و یک دلیل کوتاه برای خودت توضیح بده؛ بعد فقط نکته‌هایی را دوباره بخوان که هنوز در توضیحشان مکث می‌کنی.

□ شرط اصلی «مفاهیم اولیه و زاویه‌ها» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.
□ شرط اصلی «روابط طولی در دایره» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.
□ شرط اصلی «چندضلعی‌های محاطی و محیطی» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.

اگر لازم شد، سریع برگرد

یک یادآوری از رندو

از ظاهر شکل، تساوی یا توازی نتیجه نگیر. دادهٔ صورت سؤال یا قضیه‌ای که شرط‌هایش برقرار است باید هر نتیجه را پشتیبانی کند.

جزوه رایگان و نکات ناب رندو مکس

این صفحه برای جست‌وجوی «جزوه هندسه یازدهم فصل ۱»، «نکات ناب هندسه» و مرور سریع کنکور و امتحان نهایی آماده شده است.