تصویر هندسی جلد
رندو مکس • رایگان

نکات ناب
هندسه

پایهٔ ۱۰ • فصل ۲: قضیهٔ تالس، تشابه و کاربردها

نقشهٔ فصل

فصل ۲: قضیهٔ تالس، تشابه و کاربردها

این فصل ۴ درس و ۱۶ نکتهٔ منتخب دارد. ترتیب زیر کمک می‌کند هر فرمول را همراه شرط و دلیلش مرور کنی.

درس‌های این فصل

  1. نسبت و تناسب در هندسه — پیش‌نیاز: کسر، تناسب، طول مثبت
  2. قضیهٔ تالس — پیش‌نیاز: خطوط موازی، نسبت، مثلث
  3. تشابه مثلث‌ها — پیش‌نیاز: زاویه، تناسب، هم‌نهشتی
  4. کاربردهای تالس و تشابه — پیش‌نیاز: تالس، تشابه، فیثاغورس
ادامهٔ نقشهٔ فصل

فصل ۲: قضیهٔ تالس، تشابه و کاربردها

بودجه‌بندی پیشنهادی مرور
۱۰۰ دقیقه
  1. یک دور قضیه‌ها را همراه شرط کاربرد بخوان.
  2. راه‌حل‌ها را با پوشاندن سطر آخر، خودت کامل کن.
  3. دام‌ها را به صورت یک پرسش کوتاه برای خودت بازگو کن.
  4. سنجش‌های ناب را بدون نگاه به پاسخ حل و سپس کنترل کن.
ABCDE

درس ۱: نسبت و تناسب در هندسه

پیش‌نیاز: کسر، تناسب، طول مثبت
نکتهٔ ۱

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

برای طول‌های مثبت a,b,c,d، تناسب a/b=c/d زمانی معتبر است که b,d≠۰ و معادل ad=bc است.

چرا مهم است؟
نسبت، مقایسهٔ دو طول هم‌واحد است؛ با تغییر مقیاس شکل، نسبت‌ها ثابت می‌مانند.
نکتهٔ ۲

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

اگر چند نسبت پراکنده‌اند، یک طول مشترک یا ضریب مقیاس k تعریف کن؛ مثلاً a=۲k و b=۳k.

دلیل و مسیر برهان
از a/b=c/d و b,d≠۰، دو طرف را در bd ضرب می‌کنیم؛ چون ضرب تساوی در عدد ناصفر مجاز است، ad=bc. برعکس از ad=bc با تقسیم دو طرف بر bd≠۰ تناسب به دست می‌آید. اگر نسبت‌ها طول هندسی باشند، a,b,c,d مثبت‌اند؛ بنابراین در نامساوی‌ها نیز ضرب یا تقسیم بر مخرج‌ها جهت را عوض نمی‌کند. شرط ناصفر بودن برای تساوی و شرط مثبت بودن برای حفظ جهت نامساوی حذف‌شدنی نیست.

کاربرد و دام • نسبت و تناسب در هندسه

پایهٔ ۱۰
نکتهٔ ۳

دامی که جواب را عوض می‌کند

از a/b=c/d نمی‌توان a=c نتیجه گرفت. مثال: ۲/۳=۴/۶ ولی ۲≠۴.

نمونهٔ کنترل‌شده
اگر AB:BC=۲:۳ و AC=۲۰ و B میان A,C باشد، AB=۲k و BC=۳k؛ ۵k=۲۰، پس k=۴ و AB=۸، BC=۱۲.
نکتهٔ ۴

سنجش ناب

برای طول‌های مثبت ثابت کن اگر a/b=c/d، آنگاه (a+c)/(b+d) نیز با هر دو نسبت برابر است؛ همهٔ تقسیم‌ها را توجیه کن.

پاسخ تشریحی
از a/b=c/d داریم ad=bc. برای مقایسه با a/b، رابطه b(a+c)=ab+bc=ab+ad=a(b+d) برقرار است؛ چون b و b+d مثبت‌اند، تقسیم می‌دهد (a+c)/(b+d)=a/b. به‌طور مشابه d(a+c)=ad+cd=bc+cd=c(b+d)، و با تقسیم بر d(b+d)>۰ نسبت برابر c/d می‌شود.

درس ۲: قضیهٔ تالس

پیش‌نیاز: خطوط موازی، نسبت، مثلث
نکتهٔ ۵

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

در مثلث غیرتباه ABC، اگر D و E به‌ترتیب نقطه‌های داخلی ضلع‌های AB و AC باشند و DE∥BC، آنگاه AD/DB=AE/EC و در نتیجه AD/AB=AE/AC. عکس: با همین جایگاه داخلی، اگر AD/DB=AE/EC، آنگاه DE∥BC. نسبت DE/BC پس از اثبات تشابه در درس بعد نتیجه می‌شود و در اثبات خود تالس به کار نمی‌رود.

چرا مهم است؟
خط موازی با یک ضلع مثلث، دو ضلع دیگر را با یک ضریب مشترک قطع می‌کند.
نکتهٔ ۶

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

اگر موازی در شکل حاضر نیست، از نقطه‌ای خطی موازی یکی از اضلاع بکش و از هم‌مساحتی شروع کن. در زنجیره‌های دو موازی نیز دو تناسب را با یک نسبت مشترک بنویس و آن را حذف کن تا رابطه‌ای مانند AE۲=AF·AD حاصل شود.

دلیل و مسیر برهان
برهان مستقل از تشابه: مثلث‌های ADE و BDE رأس E و قاعده‌هایی روی خط AB دارند؛ پس نسبت مساحتشان AD/DB است. مثلث‌های ADE و CDE نیز رأس D و قاعده‌هایی روی خط AC دارند؛ پس نسبت مساحتشان AE/EC است. مثلث‌های BDE و CDE قاعدهٔ مشترک DE دارند و چون B و C روی خط BC موازی DE هستند، ارتفاع‌هایشان برابر است؛ پس هم‌مساحت‌اند و AD/DB=AE/EC. با افزودن صورت و مخرج، AD/(AD+DB)=AE/(AE+EC)، یعنی AD/AB=AE/AC. این برهان فقط از فرمول مساحت و توازی استفاده می‌کند و هیچ معیار تشابهی را فرض نمی‌گیرد.

کاربرد و دام • قضیهٔ تالس

پایهٔ ۱۰
نکتهٔ ۷

دامی که جواب را عوض می‌کند

تناسب را با اضلاع نامتناظر ننویس. مثال نقض: در مثلث‌های مشابه با ضریب ۲، نسبت ضلع بزرگ به کوچک ۲ است ولی وارونه‌کردن فقط یک طرف، ۱/۲=۲ ادعای غلط می‌سازد.

نمونهٔ کنترل‌شده
در △ABC، DE∥BC، AD=۴، DB=۲ و AE=۶. چون AD/AB=AE/AC، ۴/۶=۶/AC؛ پس AC=۹ و EC=۳.
نکتهٔ ۸

سنجش ناب

در ذوزنقهٔ محدب ABCD با AB∥CD، قطرها در O قطع می‌شوند. بدون استفاده از تشابه ثابت کن AO/OC=BO/OD.

پاسخ تشریحی
مثلث‌های AOB و COD زاویه‌های متقابل به رأس برابر دارند. همچنین مثلث‌های ABC و ABD قاعدهٔ مشترک AB و رأس‌های C,D روی خطی موازی AB دارند، پس هم‌مساحت‌اند. با کم‌کردن مساحت مشترک AOB، داریم [AOD]=[BOC]. اکنون [AOD]/[COD]=AO/OC چون ارتفاعشان از D بر AC مشترک است؛ و [BOC]/[COD]=BO/OD چون ارتفاعشان از C بر BD مشترک است. با [AOD]=[BOC]، دو نسبت برابر می‌شوند.

درس ۳: تشابه مثلث‌ها

پیش‌نیاز: زاویه، تناسب، هم‌نهشتی
نکتهٔ ۹

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

برای دو مثلث غیرتباه، حالت‌های کافی تشابه عبارت‌اند از: ز‌ز؛ ض‌ز‌ض با تناسب دو ضلع و برابری زاویهٔ بین آن‌ها؛ ض‌ض‌ض با تناسب سه ضلع. نسبت محیط‌ها k و نسبت مساحت‌ها k۲ است. ارتفاع‌ها، میانه‌ها و نیمسازهای متناظر نیز نسبت k دارند؛ این پاره‌خط‌ها را باید با تشابه فرعی اثبات کرد.

چرا مهم است؟
مثلث‌های مشابه یک شکل با دو اندازه‌اند؛ زاویه‌ها برابر و همهٔ طول‌ها با یک ضریب k تغییر می‌کنند.

ادامهٔ درس ۳: تشابه مثلث‌ها

روش و دلیل
نکتهٔ ۱۰

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

ترتیب رأس‌ها را از زاویه‌های برابر تعیین کن؛ سپس نسبت‌ها را دقیقاً در همان ترتیب بنویس. برای پاره‌خط‌های وابسته مانند ارتفاع، میانه یا نیمساز، ابتدا دو مثلث فرعی متناظر را مشخص کن؛ نسبت این پاره‌خط‌ها از یک تشابه فرعی و همان ضریب k می‌آید، نه از ظاهر شکل.

دلیل و مسیر برهان
برای معیار زاویه‌ـزاویه، △ABC و △A′B′C′ را با ∠A=∠A′ و ∠B=∠B′ بگیرید. اگر AB=A′B′، دو زاویه و ضلع میان آن‌ها برابر است؛ پس دو مثلث به حالت زاویه‌ـضلع‌ـزاویه هم‌نهشت و در نتیجه مشابه‌اند. اگر AB≠A′B′، نام دو مثلث را در صورت نیاز جابه‌جا می‌کنیم تا AB>A′B′ باشد. روی پاره‌خط AB نقطهٔ D را چنان می‌گیریم که AD=A′B′ و از D خط DE∥BC را تا برخورد با AC رسم می‌کنیم. چون ∠DAE=∠A′ و ∠ADE=∠B′ و AD=A′B′، مثلث‌های ADE و A′B′C′ به حالت زاویه‌ـضلع‌ـزاویه هم‌نهشت‌اند؛ پس AE=A′C′. تالسِ اثبات‌شده، فقط برای پاره‌های دو ضلع، می‌دهد AD/AB=AE/AC؛ بنابراین A′B′/AB=A′C′/AC. اکنون ساخت را از رأس B تکرار می‌کنیم: روی BA نقطهٔ F را با BF=B′A′ می‌گیریم و FG∥AC را تا BC رسم می‌کنیم. مثلث‌های BFG و B′A′C′ به همان حالت هم‌نهشت‌اند، پس BG=B′C′؛ تالس می‌دهد BF/BA=BG/BC و در نتیجه A′B′/AB=B′C′/BC. پس هر سه ضلع متناظر یک نسبت دارند و دو مثلث مشابه‌اند. در هیچ گام از نسبت ضلع‌های دو مثلث مشابه پیش از اثبات تشابه استفاده نشد.

کاربرد و دام • تشابه مثلث‌ها

پایهٔ ۱۰
نکتهٔ ۱۱

دامی که جواب را عوض می‌کند

برابری یک زاویه و تناسب دو ضلع نامجاور کافی نیست. داده‌های دو ضلع و زاویهٔ غیرِبین می‌توانند دو مثلث متفاوت بسازند؛ این همان ابهامِ ضلع‌ـضلع‌ـزاویهٔ غیرِبین است.

نمونهٔ کنترل‌شده
دو مثلث با ضلع‌های ۳،۴،۵ و ۶،۸،۱۰ مشابه‌اند چون سه نسبت ۱/۲ است. ضریب بزرگ‌نمایی ۲ و نسبت مساحت‌ها ۴ است.
نکتهٔ ۱۲

سنجش ناب

در △ABC قائم در C، پای ارتفاع وارد بر وتر را H بگیرید. ترتیب دقیق تشابه هر دو مثلث کوچک با مثلث اصلی را بنویسید و دو تناسب مستقل نتیجه بگیرید.

پاسخ تشریحی
در △ACH و △ABC، ∠AHC=∠ACB=۹۰° و ∠CAH=∠CAB؛ پس △ACH∼△ABC و AC/AB=AH/AC، بنابراین AC۲=AB·AH. در △CBH و △ABC، ∠CHB=∠ACB=۹۰° و ∠CBH=∠ABC؛ پس △CBH∼△ABC و BC/AB=BH/BC، بنابراین BC۲=AB·BH. ترتیب رأس‌ها از زاویه‌های برابر تعیین شده است.

درس ۴: کاربردهای تالس و تشابه

پیش‌نیاز: تالس، تشابه، فیثاغورس
نکتهٔ ۱۳

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

در مثلث قائم با ارتفاع h بر وتر و قطعات p,q: h۲=pq و برای ساق‌ها a۲=cp و b۲=cq؛ این‌ها از تشابه سه مثلث می‌آیند.

چرا مهم است؟
خط کمکی خوب مسئله را به الگویی آشنا تبدیل می‌کند: موازی برای تالس، ارتفاع برای مثلث قائم، یا امتداد ضلع برای زاویه‌های متناظر.
نکتهٔ ۱۴

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

وقتی حاصل‌ضرب دو قطعه دیده می‌شود، ارتفاع بر وتر یا توان نقطه را جست‌وجو کن؛ خط کمکی را بعد از تعیین هدف انتخاب کن. در مسائل دید و سایه، از چشم ناظر خطی موازی زمین رسم کن تا دو مثلث قائم با زاویهٔ دید مشترک ساخته شوند.

دلیل و مسیر برهان
در △ABC قائم در C، H پای ارتفاع روی وتر AB است و AH=p، HB=q، AB=c. از △ACH∼△CBH، نسبت ضلع‌های متناظر h/p=q/h است؛ ضرب طرفین می‌دهد h۲=pq. از △ACH∼△ABC، نسبت AC/AB=AH/AC است؛ اگر AC=a، آنگاه a/c=p/a و a۲=cp. به همین روش از △CBH∼△ABC برای ساق b داریم b۲=cq. چون مثلث غیرتباه است، همهٔ طول‌ها مثبت و تقسیم‌ها و انتخاب ریشهٔ مثبت مجازند.

کاربرد و دام • کاربردهای تالس و تشابه

پایهٔ ۱۰
نکتهٔ ۱۵

دامی که جواب را عوض می‌کند

h=(p+q)/۲ همیشه نیست. مثال p=۱,q=۴: h=۲ ولی میانگین ۲.۵ است.

نمونهٔ کنترل‌شده
وتر ۱۰ و یکی از قطعاتش ۳ است؛ دیگری ۷ و h=√۲۱. ساق مجاور قطعهٔ ۳ برابر √(۱۰×۳)=√۳۰ است.
نکتهٔ ۱۶

سنجش ناب

در مثلث قائم با ارتفاع h بر وتر و قطعات p,q، ثابت کن ۱/h۲=۱/a۲+۱/b۲؛ همهٔ تقسیم‌ها را توجیه کن.

پاسخ تشریحی
از تشابه‌ها a۲=c p، b۲=c q و h۲=pq، و نیز c=p+q. چون طول‌ها مثبت‌اند، تقسیم مجاز است. داریم ۱/a۲+۱/b۲=۱/(cp)+۱/(cq)=(p+q)/(cpq)=c/(cpq)=۱/(pq)=۱/h۲.
جمع‌بندی فصل

حالا خودت را بسنج

هر گزاره را با شرط کاربرد و یک دلیل کوتاه برای خودت توضیح بده؛ بعد فقط نکته‌هایی را دوباره بخوان که هنوز در توضیحشان مکث می‌کنی.

□ شرط اصلی «نسبت و تناسب در هندسه» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.
□ شرط اصلی «قضیهٔ تالس» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.
□ شرط اصلی «تشابه مثلث‌ها» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.
□ شرط اصلی «کاربردهای تالس و تشابه» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.

اگر لازم شد، سریع برگرد

یک یادآوری از رندو

از ظاهر شکل، تساوی یا توازی نتیجه نگیر. دادهٔ صورت سؤال یا قضیه‌ای که شرط‌هایش برقرار است باید هر نتیجه را پشتیبانی کند.

جزوه رایگان و نکات ناب رندو مکس

این صفحه برای جست‌وجوی «جزوه هندسه دهم فصل ۲»، «نکات ناب هندسه» و مرور سریع کنکور و امتحان نهایی آماده شده است.