تصویر هندسی جلد
رندو مکس • رایگان

نکات ناب
هندسه

پایهٔ ۱۰ • فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال

نقشهٔ فصل

فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال

این فصل ۲ درس و ۸ نکتهٔ منتخب دارد. ترتیب زیر کمک می‌کند هر فرمول را همراه شرط و دلیلش مرور کنی.

درس‌های این فصل

  1. ترسیم‌های هندسی — پیش‌نیاز: فاصله، دایره، عمود و نیمساز
  2. استدلال، فرض و حکم — پیش‌نیاز: گزاره، مثال نقض، هم‌نهشتی مثلث‌ها
بودجه‌بندی پیشنهادی مرور
۵۰ دقیقه
  1. یک دور قضیه‌ها را همراه شرط کاربرد بخوان.
  2. راه‌حل‌ها را با پوشاندن سطر آخر، خودت کامل کن.
  3. دام‌ها را به صورت یک پرسش کوتاه برای خودت بازگو کن.
  4. سنجش‌های ناب را بدون نگاه به پاسخ حل و سپس کنترل کن.
ABMP

درس ۱: ترسیم‌های هندسی

پیش‌نیاز: فاصله، دایره، عمود و نیمساز
نکتهٔ ۱

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

مکان هندسی نقاط هم‌فاصله از A و B، عمودمنصف AB است. برای دو خط متقاطع، مکان نقاطی که فاصلهٔ عمودی‌شان از دو خط برابر است، اجتماع دو خط نیمسازِ دو جفت زاویهٔ متقابل است؛ اما اگر فقط نقاط داخل یک زاویهٔ مشخص منظور باشند، مکان فقط نیم‌خط نیمساز داخلی همان زاویه است.

چرا مهم است؟
ترسیم با خط‌کش و پرگار یعنی هر حرکت را به «خط از دو نقطه» یا «دایره با مرکز و شعاع معلوم» فروبکاهیم.

ادامهٔ درس ۱: ترسیم‌های هندسی

برهان و مسیر حل
نکتهٔ ۲

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

برای ساخت نقطهٔ هم‌فاصله از دو نقطه، دو کمان هم‌شعاع بزن. برای نقاط با فاصلهٔ ثابتِ مثبت از یک خط، دو خط موازی در دو سوی آن بساز؛ اگر فاصله صفر باشد، مکان خودِ خط است. خط کمکی باید یکی از شرط‌ها را قابل استفاده کند.

دلیل و مسیر برهان
فرض کنید A و B متمایزند و M وسط AB است. جهت اول: اگر P=M، آنگاه PA=MA=MB=PB. اگر P≠M و P روی خط عمودمنصف باشد، PM⊥AB؛ پس در مثلث‌های PMA و PMB، ضلع PM مشترک، MA=MB و زاویهٔ میان آن‌ها ۹۰° است؛ به حالت ضلع‌ـزاویه‌ـضلع هم‌نهشت‌اند و PA=PB. جهت عکس: اگر PA=PB و P روی AB باشد، تنها نقطهٔ هم‌فاصله از دو سر پاره‌خط روی خود AB وسط آن است، پس P=M و روی خط عمودمنصف قرار دارد. اگر P خارج از خط AB باشد، مثلث‌های PAM و PBM با PA=PB، AM=BM و PM مشترک به حالت ضلع‌ـضلع‌ـضلع هم‌نهشت‌اند؛ بنابراین ∠PMA=∠PMB. چون A,M,B هم‌خط‌اند، این دو زاویه مجاور و مکمل‌اند؛ دو زاویهٔ برابر با مجموع ۱۸۰° هر یک ۹۰° هستند. پس PM⊥AB و P روی عمودمنصف است.

کاربرد و دام • ترسیم‌های هندسی

پایهٔ ۱۰
نکتهٔ ۳

دامی که جواب را عوض می‌کند

از تقارن ظاهری شکل، مساوی بودن دو طول را نتیجه نگیر. مثال نقض: نقطه‌ای نزدیک عمودمنصف ولی خارج آن، در رسم کوچک متقارن دیده می‌شود اما فاصله‌هایش دقیقاً برابر نیست.

نمونهٔ کنترل‌شده
A و B چهار سانتی‌متر فاصله دارند. نقاطی که PA=PB=۳ باشند، تقاطع دو دایرهٔ مرکز A و B و شعاع ۳ هستند؛ چون ۰<AB<۶، دو جواب متقارن نسبت به AB داریم.
نکتهٔ ۴

سنجش ناب

مثلثی با ضلع‌های ۴،۵،۷ بساز و امکان‌پذیری را توجیه کن.

پاسخ تشریحی
AB=۷ رسم کنید؛ دایرهٔ مرکز A و شعاع ۴ و دایرهٔ مرکز B و شعاع ۵ را بسازید. چون |۵−۴|<۷<۵+۴، دو دایره دقیقاً دو تقاطع دارند. هر تقاطع C شرط‌های AC=۴ و BC=۵ را از تعریف دایره تأمین می‌کند. دو جواب نسبت به AB قرینه‌اند و جز جهت‌گیری، مثلث‌های هم‌نهشت می‌سازند؛ پس ساخت هم ممکن و هم تا تقارن یکتا است.

درس ۲: استدلال، فرض و حکم

پیش‌نیاز: گزاره، مثال نقض، هم‌نهشتی مثلث‌ها
نکتهٔ ۵

قضیه را با معنایش به خاطر بسپار

قضیه گزاره‌ای شرطی است: «اگر فرض برقرار باشد، آنگاه حکم برقرار است». عکس قضیه جای فرض و حکم را عوض می‌کند و لزوماً درست نیست.

چرا مهم است؟
استقرا از چند مشاهده حدس می‌سازد؛ اثبات استنتاجی باید از داده‌های پذیرفته‌شده به حکم برسد.
نکتهٔ ۶

ردّ پای راه‌حل و خط کمکی

وقتی حکم دربارهٔ مجموع زاویه یا طول‌هاست، قطری بکش که شکل را به مثلث‌های شناخته‌شده تقسیم کند. اگر برهان مستقیم راه نمی‌افتد، نقیضِ دقیق حکم را فرض کن، همهٔ حالت‌های آن را جدا بررسی کن و تناقض را با فرض یا یک قضیهٔ پیشین نام ببر؛ صرف نوشتن «خلاف فرض» کافی نیست.

دلیل و مسیر برهان
برای مجموع زاویه‌های چهارضلعی محدب ABCD، قطر AC را رسم می‌کنیم. قطر شکل را به دو مثلث ABC و ACD تقسیم می‌کند. مجموع زاویه‌های هر مثلث ۱۸۰° است؛ زاویه‌های دو مثلث دقیقاً زاویه‌های چهارضلعی را می‌سازند؛ پس مجموع ۳۶۰° است. محدب‌بودن تضمین می‌کند قطر انتخابی AC درون شکل بماند؛ این شرط برای این روش کافی است، اما لازم نیست، زیرا بعضی چهارضلعی‌های مقعر نیز قطر داخلی دارند.

کاربرد و دام • استدلال، فرض و حکم

پایهٔ ۱۰
نکتهٔ ۷

دامی که جواب را عوض می‌کند

«در سه شکل اندازه گرفتم، پس همیشه درست است» اثبات نیست. مثال نقض ادعای «هر چهارضلعی قطرهای برابر دارد»: لوزی نامربع قطرهای نابرابر دارد.

نمونهٔ کنترل‌شده
فرض: ABCD متوازی‌الاضلاع. حکم: قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند. O تقاطع قطرها؛ AB∥CD می‌دهد ∠ABO=∠CDO و ∠BAO=∠DCO، و AB=CD؛ پس دو مثلث AOB و COD هم‌نهشت‌اند و AO=OC، BO=OD.
نکتهٔ ۸

سنجش ناب

ادعای «اگر قطرهای چهارضلعی همدیگر را نصف کنند، شکل مستطیل است» را بررسی کن.

پاسخ تشریحی
نادرست؛ هر متوازی‌الاضلاع این ویژگی را دارد. یک لوزی غیرمربع مثال نقض است: قطرها نصف می‌شوند ولی زاویه‌ها ۹۰° نیستند.
جمع‌بندی فصل

حالا خودت را بسنج

هر گزاره را با شرط کاربرد و یک دلیل کوتاه برای خودت توضیح بده؛ بعد فقط نکته‌هایی را دوباره بخوان که هنوز در توضیحشان مکث می‌کنی.

□ شرط اصلی «ترسیم‌های هندسی» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.
□ شرط اصلی «استدلال، فرض و حکم» را می‌توانم پیش از فرمول بگویم.

اگر لازم شد، سریع برگرد

یک یادآوری از رندو

از ظاهر شکل، تساوی یا توازی نتیجه نگیر. دادهٔ صورت سؤال یا قضیه‌ای که شرط‌هایش برقرار است باید هر نتیجه را پشتیبانی کند.

جزوه رایگان و نکات ناب رندو مکس

این صفحه برای جست‌وجوی «جزوه هندسه دهم فصل ۱»، «نکات ناب هندسه» و مرور سریع کنکور و امتحان نهایی آماده شده است.